河北省黄骅市2022学年高二数学上学期期中试题理
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2022-2022年度高中二年级第一学期期中考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至4页,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷(客观题共60分)注意事项:答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上;不能将题直接答在试卷上。一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.某学院A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取的学生人数为( )A.30B.40C.50D.602.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.B.C.D.3.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则实数的值是()A.B.C.D.4.如果在一次实验中,测得(x,y)的四组数值分别是A(1,3),B(2,3.8),C(3,5.2),D(4,6),则y与x之间的回归直线方程是( )A.=x+1.9B.=1.04x+1.9C.=0.95x+1.04D.=1.05x-0.95.已知平面的法向量是(2,3,-1),平面的法向量是,若,则的值是()A.B.6C.D.6.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.B.C.D.-9-\n7.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是()A.B.C.D.9.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.B.1-C.D.1-10.设分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.45°C.90°D.以上都不对12.有关下列命题,其中正确命题的个数是()(1)命题“若,则”的否命题为“若,则”(2)“”是“”的必要不充分条件(3)若是假命题,则都是假命题(4)命题“若且,则”的等价命题是“若,则”A.1B.2C.3D.4第II卷(非选择题共90分)-9-\n二、填空题(本题共20分,每小题5分)13.把下列各进制的数,,按从小到大的顺序排列________.14.已知命题,,则的否定为______.15.欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其扣,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆,中间有边长为的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________.16.已知椭圆,过点作直线与椭圆交于两点,点是线段的中点,则直线的斜率为 .三、解答题(共70分,写出必要的解题步骤、文字说明)17.(本小题10分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩最好?谁的各门功课发展较平衡?18.(本小题12分)已知点M(3,-6)在以原点为顶点,x轴为对称轴的抛物线C上,直线l:y=2x+1与抛物线C相交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求线段AB的长.19.(本小题12分)如图是某地某公司1000名员工的月收入后的直方图.根据直方图估计:(1)该公司员工月收入的众数;(2)该公司月收入在1000元至1500元之间的人数;(3)该公司员工的月平均收入;(4)该公司员工月收入的中位数.20.(本小题12分)已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=cx在R上单调递减;命题q:函数f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,若命题p∧q为假,命题p∨q为真,求实数c的取值范围.-9-\n21.(本小题12分)如图,在三棱锥中,是边长为4的正三角形,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离.22.(本小题12分)已知椭圆的两个焦点分别为,F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2。(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.四、附加题(共两个题,20分)23.(本小题5分)(2022·东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( )24.(本小题15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.求直线AB的斜率的最小值.-9-\n黄骅中学2022-2022年度高中二年级第一学期期中考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1-6BCABCD 7-12BADBCC二、填空题(每小题5分,共20分)13.14.,15.16.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)解:--------2分--------4分----8分∵∴甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡---------10分18.(本小题12分)解:(1),---------6分(2)---------12分19.(本小题12分)解:(1)2500元---2分(2)[1-(0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001)×500]×1000=100人---4分(3)0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元--8分(4)中位数为2400元(面积分为相等的两部分)-----12分20.(本小题12分)解:因为函数y=cx在R上单调递减,所以0<c<1.即p:0<c<1,因为c>0且c≠1,所以p:c>1.------2分又因为f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,所以c≤.即q:0<c≤,因为c>0且c≠1,所以q:c>且c≠1.------4分-9-\n又因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以p真q假或p假q真.①当p真,q假时,{c|0<c<1}∩=.②当p假,q真时,{c|c>1}∩=∅.------10分综上所述,实数c的取值范围是.------12分21.(本小题12分)解:(1)证明:取的中点,连接因为,,所以且.因为平面平面,平面平面,所以平面所以.如右图所示,建立空间直角坐标系则所以因为所以------4分(2)由(1)得,所以设为平面的一个法向量,则,取,则所以---7分又因为为平面的一个法向量,所以所以二面角的余弦值为.--------9分(3)由(1)(2)可得,为平面的一个法向量.-9-\n所以点到平面的距离.------12分22.(本题满分12分)解:(1)根据题意,故可设椭圆:.将代入得,故椭圆的方程为.----4分(2)当直线的斜率不存在时,其方程为,经验证,不符合题意;----6分当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由可得.设,则因为,所以,即-----------------10分解得,即.故直线的方程为或.-----12分四、附加题(共20分):23.(本小题5分)[答案] D[解析] 当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),∴y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).-9-\n当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),∴y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.24.(本小题15分)解:(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=2,所以a=2,b==.所以椭圆C的方程为+=1.-------2分(2)①设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k==,直线QM的斜率k′==-.此时=-3.所以为定值-3.--------4分②设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m,联立整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x1x0=,可得x1=,所以y1=kx1+m=+m,同理x2=,y2=+m.所以x2-x1=-=,y2-y1=+m--m=.---------10分所以kAB===.由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+≥2,-9-\n等号当且仅当k=时取得.此时=,即m=,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为.----------15分-9-
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