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河南省三门峡市陕州中学高二数学上学期第二次精英对抗赛试题理
河南省三门峡市陕州中学高二数学上学期第二次精英对抗赛试题理
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2022-2022学年上期高二第二次精英对抗赛(理科)数学试题试卷总分:150分时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每題给出的四个选中,只有一项是符合题目要求)1.命题甲:x≠2或y≠3;命题乙:x+y≠5,则甲是乙的( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.若“0<x<1是“(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( ) A.[﹣1,0]B.(﹣1,0)C.(﹣∞,0]∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞)3.运行如右图所示的程序框图.若输入x=4,则输出y的值为( ) A.49B.25C.13D.74.下列说法正确的是( ) A.x≥3是x>5的充分而不必要条件 B.若¬p⇒¬q,则p是q的充分条件 C.x≠±1是|x|≠1的充要条件 D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形5.根据下面给出的2022年至2022年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是()A.逐年比较,2022年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2022年我国治理二氧化硫排放显现C.2022年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=1,则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为( ) A.B.C.D.8(第6题)(第7题)7.如图:在平行六面体中,为与的交点。若,,则下列向量中与相等的向量是()(A)(B)(C)(D)8、直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,且,则()9、有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.B.C.D.10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其交于两点,中点的横坐标为,则此双曲线的方程是()A.B.C.D.11.如图,已知二面角α﹣l﹣β为60°,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,且AC=2,CD=3,DB=1,则AB的长度为( ) A.4B.2C.3D.12、若不论为何值,直线与曲线总有公共点,则的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)13.椭圆的焦点为F1、F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段MN长为8,的周长为20,则椭圆的离心率为__________14.设p:|2x+1|<m(m>0),,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 15.为了“城市品位、方便出行、促进发展”,南昌市拟修建穿江隧道,市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建穿江隧道的市民占80%,在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组,得样本频率分布直方图如图,其中年龄在[20,30)岁的有400人,[40,50)岁的有m人,则n= ,m= 16.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,垂直于圆所在的平面,且.则三棱锥体积的最大值为 三、解答题(本大题共6题,共70分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分).p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.819.(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣2)x﹣b2+16=0(1)若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率.(2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率.20.(本小题满分12分)某种产品广告的支出x与销售收入y(单位:万元)之间有下列所示的对应数据.广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256(1)画出表中数据的散点图;(2)求出y与x的回归直线方程;(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少?=,=-.21.(本小题满分12分)如图,△ABC中,O是BC的中点,AB=AC,AO=2OC=2.将△BAO沿AO折起,使B点与图中B'点重合.(Ⅰ)求证:AO⊥平面B′OC;(Ⅱ)当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时,求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问在线段B′A上是否存在一点P,使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为?证明你的结论.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。8第二次精英对抗赛理科数学试题答案BABCDCAADBBD13.14.(0,2]15.4000,112016.;17分析:(1)若a=1,分别求出p,q成立的等价条件,利用且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)利用¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解答:解:(1)由x2﹣4ax+3a2<0,得(x﹣3a)(x﹣a)<0.又a>0,所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由得得2<x≤3,即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3.(2)¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p⇒¬q,且¬q推不出¬p.即q是p的充分不必要条件,则,解得1<a≤2,所以实数a的取值范围是1<a≤2.18.解析:(1)直线AB方程为:bx-ay-ab=0. 依题意 解得 ∴ 椭圆方程为 . (2)假若存在这样的k值,由得. ∴ . ① 设,、,,则 ②而. 要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时,则,即.8 ∴ . ③ 将②式代入③整理解得.经验证,,使①成立. 综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E.18.解答:解:(1)由题意知本题是一个古典概型用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知,基本事件(a,b)的总数有36个二次方程x2﹣2(a﹣2)x﹣b2+16=0有两正根,等价于,即“方程有两个正根”的事件为A,则事件A包含的基本事件为(6,1)、(6,2)、(6,3)、(5,3)共4个∴所求的概率为(2)由题意知本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面积为S(Ω)=16满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a﹣2)2+b2<16}其面积为∴所求的概率P(B)=19. 解答:(1)散点图略.(2)由散点图可知y与x之间具有线性相关关系.由题意知,,,,,回归直线方程为(3)将x=9代入,得,故投入9万元广告费,销售收入约为129.4万元.20.解答:解:(Ⅰ)∵AB=AC且O是BC中点,∴AO⊥BC即AO⊥OB',AO⊥OC,又∵OB'∩OC=O,∴AO⊥平面B'OC…(Ⅱ)在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(Ⅰ)可知B'D⊥OA又OC∩OA=O,∴B'D⊥平面OAC,即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高,又B'D≤B'O,所以当D与O重合时,三棱锥B'﹣AOC的体积最大,解法一:过O点作OH⊥B'C于点H,连AH,由(Ⅰ)知AO⊥平面B'OC,又B'C⊆平面B'OC,∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O,∴B'C⊥平面AOH,∴B'C⊥AH,∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角.,∴,8∴,故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…解法二:依题意得OA、OC、OB'两两垂直,分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,设平面B'OC的法向量为,可得设平面AB'C的法向量为,由…(7分),故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为:.(Ⅲ)解法一:存在,且为线段AB'的中点证明如下:设又平面B'OA的法向量,依题意得解得舍去)解法二:连接OP,因为CO⊥平面B'OA,所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角,故,,∴,又直角OB'A中,OA=2,OB'=1,∴即P为AB'的中点21.解答:解:(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.又∵∠BAC=30°,AC=4,∴,AM=3,CM=1.∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.8在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,∴,由,得GC=2.∵,又∵△GCH∽△GBM,∴,则.∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为. 22.8
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发布时间:2022-08-25 20:56:58
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