浙江省宁波万里国际学校2022学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

高二下学期期末考试数学（理）试题注意：1.A题供创新班学生及希望调整进入创新班的同学做；B题供平行班同学做．2.参考公式：球的表面积公式S=4πR2球的体积公式V=πR3其中R表示球的半径棱锥的体积公式V=Sh其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高棱柱的体积公式V=Sh其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高棱台的体积公式V=其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若i为虚数单位，则关于，下列说法不正确的是A．为纯虚数B．的虚部为C．||=lD．在复平面上对应的点在虚轴上2．下列式子不正确的是A.B.C．D．3．已知复数，下列命题中：①不能比较大小；②若，则；③；④若，则.其中正确的命题是A．②③B．①③C．③④D．②④4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．5．(A题）直线为参数)的倾斜角等于A．B．C．D．（B题）如图，空间四边形ABCD中，分别是BC、CD10\n的中点，则等于A．B．C．D．6．已知二项式的展开式中第四项为常数项，则等于A．9B．6C．5D．37．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有A．96种B．48种C．34种D．144种8.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为1234PA．B．C．D．9.已知随机变量和，其中，且，若的分布列如右表，则的值为A．B．C．D．10.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知f(x)＝x3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有条.12．已知，则.13．复数，则．10\n14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是．15．（A题）在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为．（B题）已知，且的方向向量为，平面的法向量为，则．16．（A题）已知函数．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是________．（B题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为______.17．已知函数若对任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围是____________.三、解答题（本大题共5小题，共69分）18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人.（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.19．（本题满分13分）（A题）以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为，设直线与曲线分别交于；（1）写出曲线和直线的普通方程；10\n（2）若成等比数列,求的值．（B题）如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．(1)求平面与平面所成的锐二面角；(2)若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的取值范围．20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？21．（本小题满分14分）（A题）已知，且．10\n(1)求证：；(2)若恒成立，求实数的最大值．（B题）设函数．（1）若，求的值；（2）若，在处取得极值，且过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.22．（本题满分15分）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的最小值为，求的最大值；(3)若函数的最小值为，为定义域内的任意两个值，试比较与的大小．10\n2022-2022学年度第二学期期末考试高二理科数学参考答案，由又因为，所以…………………………………………………………………14分（第19题图）B11A11C11D11ABCDEF（B题）解:（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，.……………………………………2分10\n平面的一个法向量为，设平面的法向量为，∴取得平面的一个法向量……………………………………………5分，因为为锐角，∴所求的锐二面角为．…………………………………………………7分10\n由η～B(3，)，D(η)＝3××＝．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，因此，建议该单位派甲参加竞赛．………………………………………………………………………………………………14分21.（A题）解：证明（1），且，故当时等号成立……………………………6分（2），且恒成立，恒成立，又当时等号成立，故实数的最大值为…………………………………………………14分（B题）解：（1），对此等式两边同时求导数得：，令得：，又由二项式定理知故………………………………………………6分此题还可直接利用二项式定理求出的值，然后再求的值.（2），由题意可得，，解得经检验，在处取得极大值.………………………8分设切点为，则切线方程为即为……………………………………………………9分10\n因为切线方程为，把代入可得，因为有三条切线，故方程有三个不同的实根.………………………11分设，令，可得和+0一0+增极大值减极小值增因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以………………14分22.解：(1)显然，且……………………………………………1分①当时，，函数在定义域内单调递增；②当时，若，，函数单调递减；若，函数单调递增…………………………4分(2)由(1)知，当时，函数在定义域内单调递增，所以无最小值.当时，时，最小，即所以因此，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故的最大值是…………………………………………………………8分(3)由(1)知,极小值即最小值，10\n故分对于任意的且有，分不妨设，则，令则设所以，因为即，所以，即函数在上单调递增.从而，但是，所以即……………………………………………………………14分10