浙江诗阳中学高二数学上学期期中试题
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东阳中学2022年下学期期中考试卷(高二数学)参考公式:球的表面积公式棱柱的体积公式S=4πR2V=Sh球的体积公式其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高.V=πR3棱台的体积公式其中R表示球的半径V=h(S1++S2)棱锥的体积公式其中S1、S2表示棱台的上、下底面积,h表示棱V=Sh台的高.其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设u=(-2,2,5),v=(6,-4,4)分别是平面a,b的法向量,则平面a,b的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a=( )A.-3B.C.-6D.3.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件4.圆(x+2)2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为( )A.(x﹣2)2+y2=5B.x2+(y﹣2)2=5C.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5D.(x+1)2+(y+1)2=55.已知两点M(0,2),N(-3,6)到直线l的距离分别为1和3,则满足条件的直线l的条数是( )A.1B.2C.3D.46.在空间中,三条不重合的直线m,n,l,两个不重合的平面a,b,下列命题正确的是( )A.若则B.若且则-8-\nC.若则D.若,则7.已知点A(﹣1.0),B(1,0),若圆(x﹣2)2+y2=r2上存在点P.使得∠APB=90°,则实数r的取值范围为( )A.(1,3)B.[1,3]C.(1,2]D.[2,3]8.如图,直线l⊥平面α,垂足为O,已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动:①A∈l,②C∈α,则B,O两点间的最大距离为( )A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题有7小题,9-12题每题6分,13-15题每题4分,共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9.已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,其半径r=,圆心C到直线x-y=2的距离为,圆C上的点到直线x-y=2距离的最小值为.10.由三条直线x=0,x+y-2=0,x-y-2=0围成一个封闭的平面图形,则该平面图形的面积是,若将此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积是.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积V= cm3,表面积S= cm2.12.已知MN为长宽高分别为3,4,5的长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的一条直径,P为该长方体表面上任一点,则|MN|=,的最小值为.-8-\n13.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为 .14.已知点,,若圆上恰有两点,,使得和的面积均为,则的取值范围是.15.在侧棱长为的正三棱锥中,,为内一动点,且到三个侧面,,的距离为.若,则点形成曲线的长度为.三.解答题:本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本题满分15分)设命题p:“直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1没有公共点”,命题q:“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根.”如果p与q有且仅有一个命题为真,求m的取值范围.17.(本题满分15分)如图,侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2,D、P分别是CC1、AB的中点,连结A1B,BD,A1D.AB1C1A1BCDP(第17题图)(Ⅰ)求证:直线CP∥平面A1BD;(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.18.(本题满分15分)已知圆过点,,并且直线平分圆的面积.(1)求圆的方程;(2)若过点,且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点.-8-\n①求实数的取值范围;②若,求的值.19.(本题满分15分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形,且ÐABC=60°,AB=SC=2,SA=SB=.(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;SABCD(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.20.(本题满分14分)如图,圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程;⑵设点是圆上任意一点(不在坐标轴上),直线交轴于点,直线交直线于点,①若点坐标为,求弦的长;②求证:为定值.-8-\n高二数学期中答案一、BCADDDAC二、9.1,,10.4,.11. , 12.,.13. .14.(1,5)15.三.解答题:本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本题满分15分)设命题p:“直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1没有公共点”,命题q:“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根.”如果p与q有且仅有一个命题为真,求m的取值范围.解:对命题P:直线x+y﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1不相交,∴≥1,解得或m<1﹣.p为真命题时m的取值范围是:A=.对命题q:则由题意得m≠0,△=1+16m>0,<0,解得m>0.q为真命题时m的取值范围是:B={m|m>0}.∵p∨q为真且p∧q为假,可知P与q有且只有一个命题为真命题.若P假q真时,∁RA∩B={m|m};若P真q假时,A∩∁RB={m|},综述:m的取值范围是:{m|m或}.17.(本题满分15分)如图,侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2,D、P分别是CC1、AB的中点,连结A1B,BD,A1D.AB1C1A1BCDP(第17题图)(Ⅰ)求证:直线CP∥平面A1BD;(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.-8-\nAB1C1A1BCDPEF17.解法一:(Ⅰ)取A1B的中点E,连接PE,DE,∵点D,P分别是CC1,AB的中点,∴四边形PEDC为平行四边形,即∥PC.又平面A1BD,DE平面A1BD,∴CP∥平面A1BD.………………………6分(Ⅱ)取AC的中点F,连,BF,则,因为侧面ACC1A1⊥底面ABC,所以BF⊥平面ACC1A1.即就是A1B与平面ACC1A1所成角.………………………………………10分∵直三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2,∴A1B,,∴即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.…………………………………15分解法二:以P为原点,CP,PB所在直线分别为x,y轴建立空间空间直角坐标系.…2分AB1C1A1BCDPyxz则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(-D,,(Ⅰ)∵,,∴平面的法向量为m=(0,1,1).………5分又,所以.……………………………………………7分因为CP平面,∴CP∥平面A1BD.………………………………………9分(Ⅱ)因为,,所以平面的法向量为n=.………………………………………11分∴.即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为.……………………………15分18.(本题满分15分)已知圆过点,,并且直线平分圆的面积.-8-\n(1)求圆的方程;(2)若过点,且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点.①求实数的取值范围;②若,求的值.18.(1);(2)①:实数的取值范围是,②:.19.(本题满分14分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形,且ÐABC=60°,AB=SC=2,SA=SB=.SABCD(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.19.解:(Ⅰ)作SH⊥AB于H,连CH,∵SA=SB=,AB=2,∴SA⊥SB,∴AH=BH=SH=1,又由ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴CH=,又SC=2,∴SC2=CH2+SH2,∴SH⊥CH.……………………………………3分SABCDHxyz又SH⊥AB,CH、AB是面ABCD内两条相交直线,∴SH⊥面ABCD,……………………………………………………………5分又SH面SAB,∴面SAB⊥面ABCD.………………………………7分(Ⅱ)以H点为坐标原点,HC、HB、HS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则C(,0,0),A(0,-1,0),S(0,0,1),D(,-2,0).…………9分∴,,∴平面ASC的法向量n1=,…………………………………………12分又,,∴平面SCD的法向量n2=,…14分∴,-8-\n即二面角A-SC-D的余弦值为.……………………………………………15分20.如图,圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程;⑵设点是圆上任意一点(不在坐标轴上),直线交轴于点,直线交直线于点,①若点坐标为,求弦的长;②求证:为定值.20.(1),(2)①:2,②:证明略.-8-
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