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福建省师大附中2022届高三数学上学期期中试题理
福建省师大附中2022届高三数学上学期期中试题理
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福建师大附中2022-2022学年第一学期期中考试卷高三数学(理科)本试卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:试卷分第I卷和第II卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.第I卷共60分一、选择题:本大题有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合,,若,则(******)A.B.C.D.2.已知,,则(********)A.B.C.D.3.已知向量,且,则实数=(*******)D.4.直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为(*******)A.B.4C.D.5.下列有关命题的说法正确的是(******)A.若且为假命题,则,均为假命题;B.“”是“”的充分不必要条件;C.命题“使得”的否定是:“均有”;D.命题“若,则”的逆否命题为真命题.-8-\n6.函数的图象大致是(*******)7.设,是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且=4+2,=3+4,则△OAB的面积等于(*******)A.15B.10C.7.5D.58.要得到函数的图象,只需将函数的图象(*******)A.左移个单位B.右移个单位C.左移个单位D.右移个单位9.已知函数的图象关于点(,0)对称,则的值可以是(*****)A.B.C.D.10.已知函数,若是的导函数,且满足,则(*******)A.B.C.D.11.定义在R上的偶函数满足,且在[-3,-2]上是减函数,是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是(******)A.B.C.D.12.已知函数,且关于的方程有个不同的实数解,若最小实数解为,则的值为(*******)A.B.C.0D.2第Ⅱ卷共90分二、填空题:本大题有5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答卷的相应位置.-8-\n13.设,向量,若,则_******______.14.设是定义在R上的周期为2的函数,当时,,则_******__.15.如图在平行四边形中,已知,,则的值是_******__.16.若函数在区间是增函数,则实数的取值范是_******__.17.对于函数与和区间D,如果存在,使,则称是函数与在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:①,; ②,;③,;④,,则在区间上存在唯一“友好点”的是_******__.(填上所有正确的序号)三、解答题:本大题有5题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)若矩阵B=,求直线先在矩阵A,再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.19.(本小题满分14分)已知向量; 令(1)求解析式及单调递增区间;-8-\n(2)若,求函数的最大值和最小值;(3)若=,求的值。20.(本小题满分12分)已知函数,其中。(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值范围。21.(本小题满分12分)某港湾的平面示意图如图所示,,,分别是海岸线上的三个集镇,位于的正南方向6km处,位于的北偏东方向10km处.(Ⅰ)求集镇,间的距离;(Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇的交通压力,拟在海岸线上分别修建码头,开辟水上航线.勘测时发现:以为圆心,3km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头的位置,使得之间的直线航线最短.22.(本小题满分15分)已知函数的图象与的图象关于直线对称。(Ⅰ)若直线与的图像相切,求实数的值;(Ⅱ)判断曲线与曲线公共点的个数.(Ⅲ)设,比较与的大小,并说明理由.-8-\n福建师大附中2022-2022学年第一学期期中考试卷高三数学(理科)解答一、选择题:BCCBD,CDADD,AB二、填空题:13.14.115.2216.17.①④三、18.(1)【解析】(Ⅰ)由已知得,所以…………4分解得故A=.………………………6分(Ⅱ)BA==,因为矩阵BA所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线上的两点(0,1),(-1,2),……8分,,由得:(0,1),(-1,2)在矩阵A所对应的线性变换下的像是点(1,-3),(-1,-1)………………10分从而直线在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为.…………12分19.……4分当,,即:时,单调递增,增区间为:,……6分(Ⅱ)由得,当时当时,……10分(3),所以。……14分20.(本小题满分12分)(1)解法1:∵,其定义域为,∴.………………1分∵是函数的极值点,∴,即.………………2分∵,∴.……4分-8-\n经检验当时,是函数的极值点,……4分∴. (2)解:对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.……5分当[1,]时,.∴函数在上是增函数.∴.…7分∵,且,.1.当1≤≤时,若1≤<,则,若<≤,则.∴函数在上是减函数,在上是增函数.∴.由≥,得≥,又1≤≤,∴≤≤.……………9分2.当且[1,]时,,∴函数在上是减函数.∴.由≥,得≥,又,∴.……11分综上所述,的取值范围为.…12分21.(本小题满分12分)解法一:(Ⅰ)在△中,,,,……………………1分根据余弦定理得,………………3分,所以.故,两集镇间的距离为14km.………………………5分(Ⅱ)依题意得,直线必与圆相切.设切点为,连接,则.………………6分设,,,-8-\n在△中,由,得,即,………………………………8分由余弦定理得,,……………………………10分所以,解得,………………………………………11分当且仅当时,取得最小值.所以码头与集镇的距离均为km时,之间的直线航线最短,最短距离为km.…12分解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)依题意得,直线必与圆相切.设切点为,连接,则.设,则,,………………………………………6分在中,,所以,………………………7分在中,,所以,……………8分所以.………………………10分因为,所以,因此当,即时,有最大值,故有最小值,此时.所以码头与集镇的距离均为km时,之间的直线航线最短,最短距离为km.…12-8-\n22.(本小题满分15分)解:(Ⅰ)由题意知.……………1分,设直线与相切与点。∴……4分(Ⅱ)证明曲线与曲线有唯一公共点,过程如下。,∴曲线与曲线只有唯一公共点.……………8分(Ⅲ)解法一:∵……………9分令。,且∴,∴∴……………15分解法二:……………9分以为主元,并将其视为,构造函数,则,且……………10分∵且,∴在上单调递增,∴当时,∴在上单调递增,∴当时,……………14分∴……………15分-8-
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高中 - 数学
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