辽宁省沈阳二中高二数学上学期期中试题理

沈阳二中2022——2022学年度上学期期中考试高二（17届）数学（理科）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若,则实数的取值范围是（）2.设,则“”是“直线与直线平行”的（）A．必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量,两两夹角都为，其模都为1，则（）B.5C.64.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）5题图5.如果执行如图所示的程序，那么输出的值=（）A.3B.4C.5D.66.若是同一个平面内的两个向量，则（）A.平面内任一向量，都有B.若存在实数，使，则C.若不共线，则空间任一向量，都有D．若不共线，则平面任一向量，都有-8-\n7.若定义在区间（-2，-1）的函数满足，则实数的取值范围（）8.已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则（）A.B.C.D.9.设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是()A.B.C.D.10.如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．11.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e1＝e3＜e2D．e1＝e3＞e212.已知抛物线，圆（其中为常数，），过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线只有三条的必要条件是（）A.B.C.D.-8-\n第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程表示的曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，则14.定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为15.设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积．若f(M)＝，则＋的最小值是___．16.若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于________．　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设锐角三角形的内角的对边分别为（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求的取值范围。18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA＝AD＝3，CD＝.（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求点F到平面PCE的距离；（III）求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且.（Ⅰ）求证:平面平面;（Ⅱ）若二面角的余弦值为,求斜三棱柱的侧棱的长度.-8-\n20.（本小题满分12分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos2θ=1．（P不在线段AB上）（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中轨迹C与轴正半轴的交点为D点，过D点作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于另外一点M、N，试问直线MN是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线是过点，方向向量为的直线，圆方程（Ⅰ）求直线的参数方程（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求的值23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x＋4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥的解集为R，求实数的取值范围-8-\n沈阳二中2022——2022学年度上学期期中考试高二（17届）数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5.BBAAB6-10.DBBCA11-12.DC二、填空题13.14.15.16.　三、解答题：17.解：（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．高源…666666…………4分（2）．……8分由为锐角三角形知，故所以．由此，所以的取值范围为．12分18.解：如图所示建立空间直角坐标系A－xyz，A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E(，0,0)，F(0，，)，C(，3,0)．(1)取PC的中点G，连接EG，则G(，，)．-8-\n∵＝(0，，)，＝(0，，)，∴∥，即AF∥EG.又AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.……4分(2)设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－，0,3)，＝(，3,0)．即取y＝－1，得n＝(，－1,1)．又＝(0，，－)，故点F到平面PCE的距离为d＝＝＝.……8分(3)＝(，，－)，设FC与平面PCE所成角为θ，sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.……12分19.解：(1)取中点，连接，则面，，……6分（2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴，建立空间直角坐标系，设则即设面法向量；面法向量……12分20.解：（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，θ=0，设P（p，0），由|PA|•|PB|cos2θ=1，得（p+1）（p﹣1）=1，∴p=±∴；②当点P不在x轴上时，-8-\n在△PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA|•|PB|cos2θ，∴4=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2﹣4|PA|•|PB|cos2θ=（|PA|+|PB|）2﹣4；∴|PA|+|PB|=2＞2=|AB|，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，方程为：+y2=1（）；综和①②可知：动点P的轨迹C的方程为：+y2=1；……6分（2）显然，两直线斜率存在，设DM：y=kx+1，代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kx=0，解得点，同理得，直线MN：，化简得；令x=0，得y=﹣，∴直线MN过定点……12分21.解:(Ⅰ)因为的面积为,所以，代入椭圆方程得，抛物线的方程是：……4分(Ⅱ)存在直线:符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则.由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得-8-\n，同理，所以可得要使，只需即解得，所以存在直线:符合条件……12分22……10分23.解：（1）（2）……10分-8-