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辽宁诗北育才学校2022届高三数学上学期第二次模拟考试试题理
辽宁诗北育才学校2022届高三数学上学期第二次模拟考试试题理
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2022—2022学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学(理)科试卷答题时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合,,则()AB.C.D.2.函数的定义域为()A.B.C.D.3.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=4.已知函数(其中)的图象如右图所示,则函数的图象是下图中的()14\nABCD5.若函数的导函数,则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是()A.[0,1]B.[3,5]C.[2,3]D.[2,4]6.设若,则的值是()A.-1B.2C.1D.-27.下面几个命题中,假命题是()A.“若,则”的否命题;B.“,函数在定义域内单调递增”的否定;C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”;D.“”是“”的必要条件.8.设均为正数,且,,,则()A..BC.D.14\n9.如图,目标函数仅在封闭区域内(包括边界)的点处取得最大值,则的取值范围是()ABCD10.若定义在上的函数满足:对于任意有,且时,有,设在区间上的最大值,最小值分别为,则的值为()A.B.C.D.11.函数,则下列说法中正确命题的个数是()①函数有3个零点;②若时,函数恒成立,则实数的取值范围是;③函数的极大值中一定存在最小值;④,,对于一切恒成立.A.B.C.D.12.已知函数在上非负且可导,满足,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.第II卷14\n二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立,且,则________;14.不等式组表示的平面区域为,若对数函数上存在区域上的点,则实数的取值范围是__________.15.关于的方程的两实根为,若,则的取值范围是________16.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第行有个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,,,…,则第10行第3个数(从左往右数)为____.三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17.(本小题满分10分)记函数的定义域为A,的定义域为B.(1)求集合A;(2)若,求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)14\n在数列中,已知,其前项和满足.(1)求的值;(2)求的表达式;(3)对于任意的正整数,求证:.19.(本小题满分12分)年世博会在上海召开,某商场预计年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量;(1)写出第个月的需求量的表达式;(2)若第个月的销售量(单位:件),每件利润,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达到最大值?月利润的最大值是多少?20.(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若在恒成立,求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知直线,,直线14\n被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点(,)的动直线交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)若,且在上恒成立,求实数的取值范围2022—2022学年度上学期高中学段高三联合考试理科数学参考答案一.1-----12CDCACBDACDBA二.13.114.15.16.三.17.解析:(1);(2)14\n18.[解析]1.(1)依次令可得,,; (2)法一:由⑴猜想,下面用数学归纳法证明:①当时结论显然成立;②假设时结论成立,即,则,故当时结论成立。综上知结论成立。法二:猜想,下面用第二数学归纳法证明:①当时结论显然成立;②假设时结论成立,即,则法三:,所以,同除得,时,,故,因此。又,故。(3)法一:由(2)知为等差数列,故。由知一定时,要使最小,则最大。显然,故,因此,两边同除从而。法二:因为,所以14\n,,故,所以因此,从而,即。法三:(i)当时不等式显然成立;(ii)假设时不等式成立,即,则如“法二”可证,故,即当时不等式成立。综上得证。19.解:(1)当时,;(2分)当时,也满足,故(4分)(2)设该商场第个月的月利润为元,则①当且时,,由,14\n在区间上单调递增,在区间上单调递减,,(8分)②当且时,,由,在区间上单调递增,在区间上单调递减,,(11分)综上,第个月时,最大利润为元(12分)20.解:(Ⅰ)当时,单调递减,单调递增。当时,单调递增。…………………4分(Ⅱ),得到令已知函数单调递减,单调递增。14\n,即,在单调递减,在,,若恒成立,则。……………12分21.【解析】(Ⅰ)则由题设可求的,………………………2分又所以椭圆C的方程是.………………………………………4分(Ⅱ)解法一:假设存在点T(u,v).若直线l的斜率存在,设其方程为,将它代入椭圆方程,并整理,得.……………………………5分设点A、B的坐标分别为,则因为及所以……………………8分当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T,……………………9分14\n所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1).………………………………………………10分当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1).综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件.……………………………………12分解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是………………………………6分由解得.由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1).………………………………7分事实上点T(0,1)就是所求的点.证明如下:当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,过点T(0,1);当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得……………8分设点A、B的坐标为,则因为,14\n所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)……………………………11分综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.…………………………………12分22.[解析](Ⅰ)由,当时,则有函数在区间单调递增;当时,,,函数的单调增区间为,单调减区间为,综合①②的当时,函数的单调增区间为;当时,函数的单调增区间为,单调减区间为.(5分)(Ⅱ)函数定义域为,又,令,则,(7分),故函数在上单调递减,在上单调递增,14\n,(8分)有由(1)知当时,对,有,即,当且趋向0时,趋向,随着的增长,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时,趋向,得到函数的草图如图所示,故①当时,函数有两个不同的零点;②当时,函数有且仅有一个零点;③当时,函数无零点;(10分)(3)由(2)知当时,,故对,先分析法证明:要证只需证14\n即证构造函数故函数在单调递增,,则成立.(12分)①当时,由(1)知,函数在单调递增,则在上恒成立.②当时,由(1)知,函数在单调递增,在单调递减,故当时,,所以,则不满足题意.综合①②得,满足题意的实数的取值范围.(14分)14
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