湖南省五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一数学下学期期末试卷（Word版带答案）

姓名______准考证号______（在此卷上答题无效）绝密★启用前五市十校教研教改共同体·2022年上学期高一期末考试数学命题：天壹名校联盟命题组审题：南县一中郭劲松本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A.B.C.D.2.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：572029714985034437863964141469037623261804601366959742671428据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（）A.0.8B.0.85C.0.9D.0.953.设，，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.4.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）\nA.，B.，C.，D.，5.若，则（）A.B.C.D.6.已知，，，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（）A.B.C.D.7.函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.48.设，，，是平面内四个不同的点，且，则向量与（）A.同向平行B.反向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于任意两个向量，，下列命题中正确的是（）A.B.C.若，则D.10.下列命题中正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若复数满足，则D.若复数满足，则\n11.已知直线是函数的一条对称轴，则（）A.点是函数的一个对称中心B.函数在上单调递减C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数与的图象关于直线对称12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，则存在点，使得B.当时，则存在点，使得，，三点共线C.当时，则存在点，使得，，，四点共面D.当时，则存在点，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设（其中为虚数单位），则______.14.若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______.15.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.\n17.（本小题满分10分）已知函数（1）讨论函数的周期性和奇偶性；（2）若，，求的值.18.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.（1）证明：平面；（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.19.（本小题满分12分）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533\n（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.（1）证明：；（2）设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.21.（本小题满分12分）目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.（1）求有员工被调剂的概率；（2）求至少有一家店停业的概率.22.（本小题满分12分）\n已知的三个内角，，的对边分别为，，，且（1）若，判断的形状并说明理由；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.2022年上学期高一期末考试·数学参考答案、提示及评分细则1.【命题意图】考查集合有关知识.【答案】B2.【命题意图】考查随机模拟.【答案】C3.【命题意图】考查三角，幂、指、对函数值大小比较【答案】D【解析】因为，，，所以，故选D.4.【命题意图】考查对数函数图象及平移变换.【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选D.5.【命题意图】考查简单三角变换【答案】A【解析】由，得故选A.6.【命题意图】考查逻辑用语及不等式等知识.【答案】A【解析】对于A：若，则，则，反之不行，所以是成立的充分不必要条件；\n对于B：，所以是成立的充要条件；对于C：取，，得不是的充分条件；对于D：取，，得不是的充分条件，故选A.7.【命题意图】考查函数零点，函数应用等知识.【答案】C【解析】在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，函数和恰有3个交点，即函数有3个零点，故选C8.【命题意图】考查平面向量共线等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养.【答案】B【解析】设，，则原式可化为即，亦即所以，所以与反向平行，故选B9.【命题意图】考查平面向量有关概念等知识.【答案】AD10.【命题意图】考查复数概念.【答案】ACD【解析】设复数，是虚单位.对于A，由得，则，所以A正确；对于B，取，可得，所以B不正确；对于C，由得，，则，所以C正确；对于D，因为，由得，，所以D正确，\n故ACD11.【命题意图】考查三角函数的图象与性质.【答案】BD【解析】因为直线是函数的一条对称轴，所以，∴，故函数，因为，所以A错误；当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以C错误；因为，所以D正确，故选BD.12.【命题意图】考查向量及空间线面位置关系等知识及直观想象，逻辑推理等数学素养.【答案】BCD【解析】由题知对于选项A和B，当时，点在线段上，故直线与异面，所以A错误；当为线段的中点时，，，三点共线，所以B正确；对于选项C，当时，取线段、的中点分别为，，连接，因为，即，所以，则点在线段上.\n当位于与的交点处时，，，，四点共面，所以C正确；对于选项D：当时，取的中点，的中点，因为，，所以，则点在线段上，当点在点处时，取的中点，连接，，因为平面，又平面，所以在正方形中，.又，，平面.故平面，又平面，所以，所以D正确，故选BCD13.【命题意图】考查复数运算及复数的模概念.【答案】14.【命题意图】考查平面向量运算及几何意义.【答案】【解析】由得，于是该平行四边形的面积15.【命题意图】考查简单几何体的表面积【答案】【解析】由题意知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，即，于是该圆锥的内切球的表面积为.16.【命题意图】考查解三角形，基本不等式的应用等知识及数学运算，逻辑推理等数学素养.【答案】【解析】设的三个内角，，的对边分别为，，.由题设得，\n∴，，故在中，由余弦定理可得即又，∴即（等号当时成立），故17.【命题意图】考查简单三角变换、三角函数的性质等知识及数学运算等数学素养.【解析】（1）因为所以函数是周期为，为奇函数（2）由，得，即因为，所以，于是或故或18.【命题意图】考查空间线面位置关系、线线角、简单几何体体积等知识及直观想象、数学运算，逻辑推理等数学素养.【解析】（1）设为的中点，连接，\n则，又平面，平面所以平面，平面，因此平面平面从而平面（2）由（1）知，是异面直线与所成角，所以在中，因为，.所以因此19.【命题意图】考查统计应用、概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.【解析】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3设女生一周阅读时间的75%分位数为，解得（2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数所以估计总样本的平均数（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，\n女生有（人）若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，共有15个样本点.记事件“恰好一男一女”，则故所求概率20.【命题意图】考查空间线面位置关系、线面角、二面角等知识及直观想象，数学运算、逻辑推理等数学素养.【解析】（1）取的中点，连接，.因为，分别是，的中点.所以，又因为，所以，从面平面.又平面，所以.（2）因为，，所以平面，所以为二面角的平面角又因为，，所以平面，.连接，则在中因为，所以平面.故是和平面所成的角即，且.\n在中，，，所以故所求二面角的大小为21.【命题意图】考查互斥事件、独立事件概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.【解析】记事件“家小店有名员工请假”，“家小店有名员工请假”，其中由题设知，事件，相互独立，且，（1）记事件“有员工被调剂”，则，且，互斥，所以故有员工被调剂的概率为（2）记事件“至少有1家店停业”，则且，，互斥，所以，故至少有一家店停业的概率为22.【命题意图】考查平面向量数量积，解三角形及函数性质应用等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养【解析】由数量积的定义得，.由余弦定理得\n即（1）是等边三角形.由正弦定理及得，即因为，所以或当时，是等腰三角形，此时，所以是等边三角形；当，即时，是直角三角形，这与矛盾.故是等边三角形.（2）不妨设，由得，于是又因为是锐角三角形、所以，即，因此由余弦定理得，令，则，函数在上单调递增.所以，因此故的取值范围是