2021-2022高一数学新教材下学期暑假作业2 平面向量的应用

2平面向量的应用一、单选题．1．的三个内角､､满足，则（）A．B．C．D．2．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形3．在中，已知，且，则的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，且有唯一解，则a的取值情况是（）A．B．或者C．D．不确定5．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则该三角形的外接圆直径为（）A．14B．7C．D．6．在中，角、、的对边分别为、、，若，的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题．\n7．在中，角，，所对的对边分别为，，，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则满足条件的有且仅有一个C．若，则是直角三角形D．若为锐角三角形，且．若，则外接圆面积的最小值为8．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A．B．是钝角三角形C．当时，的面积D．若，则三、填空题．9．已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________．10．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是_________．11．在中，，，D是边BC上的点，且BD＝2DC，\nAD＝DC，则AB等于_________．四、解答题．12．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．13．如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．\n14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且A为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．15．在中，分别是内角所对的边，向量与共线．（1）求角的大小；（2）若，外接圆面积为，求在边上的高．\n16．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，且依次成等差数列．（1）求边AC的长；（2）求四边形ABCD周长的最大值．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】B【解析】因为，可设，由余弦定理可得，故选B．2．【答案】B【解析】，，所以四边形ABCD为平行四边形，，，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形，故选B．3．【答案】B【解析】由题意，，则，又，则，由，可得，即，所以，由，知，综上可知，的形状是等边三角形，故选B．4．【答案】B【解析】由正弦定理得，由有唯一解，当时，即，唯一，符合条件，可得；当时，有两个值，不唯一，不符合条件；\n当时，，故，唯一，符合条件，可得，故选B．5．【答案】D【解析】由已知，，由正弦定理可得，化简得，所以，又因为中，，所以，所以，设三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以该三角形的外接圆直径为，故选D．6．【答案】C【解析】因为且，则，因为，所以，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选C．二、多选题．\n7．【答案】ACD【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，则，故A正确；对于B，若，则，，因此满足条件的有两个，故B错误；对于C，，则，整理得，故为直角三角形，故C正确；对于D，由，可得，∴，又，∴，又为锐角三角形，∴，∴，当且仅当时，取等号，∴，由正弦定理可得，（R为外接圆半径）可得，∴外接圆面积的最小值为，故D正确，故选ACD．8．【答案】ACD【解析】由，得，在中，由正弦定理得，A正确；\n依题意，角C是最大角，，则C是锐角，是锐角三角形，B不正确；当时，，，，，C，D都正确，故选ACD．三、填空题．9．【答案】【解析】与的夹角为钝角，所以且与不共线，由，得，由与不共线，得，，所以的取值范围为，故答案为．10．【答案】30【解析】由题意知：，设，则，，即，解得或（舍去），故答案为30．11．【答案】3【解析】设，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以，\n在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，于是有，在中，由余弦定理可知，，把代入中得，，故答案为3．四、解答题．12．【答案】证明见解析．【解析】证明：不妨设，，则，，，，得①同理②，①②得：，所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，得证．13．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里．在中，由余弦定理，有，\n则．又，，∴，故B点在C点的正东方向上．∴，在中，由正弦定理得，，∴，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在中，，，∴，，，解得，故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．14．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），，，，因为为钝角，，因为，均为锐角，故，即．（2），，．，，，，．当时，取得最大值为；\n当时，取得最小值1，所以时，的取值范围为．15．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：因为与共线，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴．（2）∵外接圆面积为，∴外接圆半径为，∵，解得，又∵，根据余弦定理得，∴，得，∴的面积为，设在边上的高为，则，解得．16．【答案】（1）；（2）10．【解析】（1）因为依次成等差数列，所以，又，所以，又，，则由余弦定理得：\n，所以．（2）由圆内接四边形性质及，知，在中，由余弦定理得，又因为（当且仅当时“=”成立），所以，即，则四边形ABCD周长最大值．