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山西省长治第二中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题(Word版附答案)
山西省长治第二中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题(Word版附答案)
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2020~2021学年第二学期高一期末考试数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则的虚部为A.5B.C.D.-5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.一个人打靶时连续射击两次,事件“两次都没中靶”的相互对立事件是()A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C.两次都中靶D.只有一次中靶【答案】B【解析】【分析】直接根据对立事件的定义,可得事件“至少有一次中靶”的对立事件,从而得出结论.【详解】解:根据对立事件的定义可得,事件“两次都没中靶”的对立事件是:至少有一次中靶,故选:.3.已知直线a,b分别在两个不同的平面,内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件\nC.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时,平面α和平面β必有公共点,即平面α和平面β相交,充分性成立;当“平面α和平面β相交”,则“直线a和直线b可以没有公共点”,即必要性不成立.故选A.4.从长度为2,4,6,8,95条线段中任取3条,则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得基本事件总数,以及利用列举法求得构成一个三角形所包含的基本事件的个数,结合古典摡型的概率计算公式,即可求解.【详解】从5条线段中任取3条,共有种不同的取法,其中能构成一个三角形的有:,共有5种,所以这3条线段能构成一个三角形的概率为.故选:B.5.已知是所在平面外一点,分别是的中点,若,则异面直线与所成角的大小是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连接AC,取中点Q,连接QM、QN,则∠QNM即为异面直线PA与MN夹角,根据数据关系即可求得夹角大小.【详解】根据题意,画出图形如下图所示\n连接AC,取中点Q,连接QM、QN则,则在中,由余弦定理可得所以所以选A【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法,三角形中位线定理及余弦定理的应用,关键是通过平移得到异面直线的夹角,属于中档题.6.已知的三个顶点、、及平面内一点满足,则与的面积比为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先将变形为,即可得,从而可确定点是边上靠近点的三等分点,进而可求得答案【详解】解:因为,所以,即,所以点是边上靠近点的三等分点,所以,因为的边与的边上的高相等,\n所以,故选:B7.袋中有5个大小质地完全相同的球,其中3个红球、2个黄球,从中不放回的依次摸出两个球,设事件“第一次摸到红球”,事件“第二次摸到红球”,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由于表示的是事件A与事件B至少发生一个的概率,所以求出其对立事件的概率,可求得所求的概率【详解】解:设A,B事件一个都不发生的概率为,即表示两次均摸到黄球的概率,由题意可知,所以,故选:A8.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球,圆柱,棱柱于一体,极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物,高为,在它们之间的地面上的点(,,三点共线)处测得楼顶,教堂顶的仰角分别是15°和60°,在楼顶处测得塔顶的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.B.C.D.【答案】D【解析】\n【分析】求得,再在三角形中,运用正弦定理可得,再解直角三角形,计算可得所求值.【详解】解:在直角三角形中,.在中,,,故,由正弦定理,,故.在直角三角形中,.故选:D.二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列关于事件和事件的结论正确的是()A.若,则事件与事件互为对立事件B.若,则事件与事件相互独立C.若事件与事件互为互斥事件,则事件与事件也互为互斥事件D.若事件与事件相互独立,则事件与事件也相互独立【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件,互斥事件,相互独立事件的定义逐一判断即可【详解】对于A:例如四个球,选中每个球的概率都一样,为选中两个球的概率:0.5,为选中两个球的概率:0.5,,但事件与事件不是对立事件,故A错误;对于B:若,则事件与事件相互独立,故B正确;对于C:假设一个随机事件由这四个彼此互斥的基本事件构成,则事件中含有事件,事件中含有,则事件与事件不是互斥事件,故C错误;\n对于D:若事件与事件相互独立,与,与,与也相互独立,故D正确综上,正确的有BD故选:BD10.已知复数,,则()A.在复平面内对应的点位于第四象限B.为纯虚数C.D.满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】ABCD【解析】【分析】由复数的坐标表示,可判定A正确;由,可判定B正确;由共轭复数的定义,可判定C正确;设,根据,得到,可判定D正确.【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限,所以A正确;由为纯虚数,所以B正确;由,可得,所以C正确;设,可得,,可得,整理得,即满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线,所以D正确.故选:ABCD.11.已知有6个电器元件,其中有2个次品和4个正品,每次随机抽取1个测试,不放回,直到2个次品都找到为止,设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为,设事件“测试次刚好找到所有的次品”,以下结论正确的是()A.\nB.事件和事件互为互斥事件C.事件“前3次测试中有1次测试到次品,2次测试到正品,且第4次测试到次品”D.事件“前4次测试中有1次测试到次品,3次测试到正品”【答案】BD【解析】【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果.【详解】A:由题意可知,直到2个次品都找到为止需要测试的次数,最少是测试2次,即前2次均测试出次品,最多测试5次,即前4次测试中有1次测试到次品,3次测试到正品,所以,故A错误;B:事件为前两次均测试出次品,事件为前2次有1次测试出次品,第3次测试出次品,符合对立事件的条件,故B正确;C:事件“前3次测试中有1次测试到次品,2次测试到正品,且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”,故C错误;D:事件“前4次测试中有1次测试到次品,3次测试到正品”,故D正确.故选:BD.12.已知正四棱柱的底面边长为,,设,是的中点,过作直线平面,与平面交于点,则下列结论正确的是()A.平面B.C.点为线段上靠近点的三等分点D.二面角平面角的正切值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A,利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理判断即可;对于B,由于\n平面,再结合A选项中的平行关系可得结论;对于C,利用三角形相似求出的长可判其位置;对于D,由于平面,所以可得为二面角平面角,然后在中求解即可【详解】解:对于A,连接,因为四边形为正方形,所以为,的中点,,因为是的中点,所以∥,,因为平面,平面,所以平面,所以A正确;对于B,因为平面,平面,所以,因为∥,所以,所以B正确;对于C,因为四边形为正方形,所以,因为平面,平面,所以,因为,所以平面,所以,则当时,平面,因为点在平面内,所以点在上,在矩形中,∽,所以,因为,,所以,所以,所以点不是线段上靠近点的三等分点,所以C错误;对于D,因为平面,平面,平面,所以,所以为二面角平面角,所以,所以D正确,故选:ABD\n三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.天气预报,在元旦假期甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________.【答案】0.38【解析】【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.【详解】设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,则两地恰有一地降雨为A+B,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.故答案为:0.38.14.已知向量,不平行,向量与平行,则实数___________.【答案】【解析】【分析】根据与平行即可得出,根据平面向量基本定理即可得出,解出即可.【详解】解:因为向量,不平行,向量与平行,\n所以,所以,解得:.故答案为:.15.已知,,,是某球面上不共面的四点,,,与垂直,则此球的体积为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意知,三棱锥可以放入正方体中,故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球,因此求出正方体的对角线即为球直径,结合球的体积公式即可求出结果.【详解】根据题意知,三棱锥可以放入正方体中,如图所示,故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球,而正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线,由图可知为球直径,所以球半径为,所以球的体积为,\n故答案为:.16.在对某中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,若只知道抽取了男生24人,其平均数和方差分别为170.5和12.96,抽取了女生26人,其平均数和方差分别为160.5和36.96,则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.【答案】50.4【解析】【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高,结合方差公式即可求解.【详解】设24名男生的身高分别为,平均数为,26名女生的身高分别为,平均数为,样本中人的身高平均为,,可得,可得,可得:,可得故答案为:50.4.\n四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中,已知点,,.(1)求;(2)设实数满足,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据向量的坐标运算求得向量的坐标,继而求得其模;(2)由向量垂直的坐标表示可求得答案.【详解】解:(1)因为,,,所以,所以,;(2)因为,所以,又,∴,即,;18.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,,,,并整理得到如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数;(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】(1)77.5;(2)(人).【解析】\n【分析】(1)根据分位数概念,结合题给频率分布直方图计算得出结果即可;(2)根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数,进而计算出样本中男生及女生的人数,最后求出总体中女生的人数.【详解】(1)由频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为,从而有:样本中分数小于70的频率为,又由频率分布直方图可得:样本中分数小于80的频率为0.8,所以样本数据的70%分位数必定位于之间.计算为:所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.(2)由题知,样本中分数不小于70的学生人数为,从而有,样本中分数不小于70男生人数为,进而得,样本中的男生人数为,女生人数为,所以总体中女生人数为(人).19.如图所示,在三棱柱中,侧棱底面,,为的中点,.(1)求证:平面;(2)设,求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】\n【分析】(1)连接,交于,利用三角形中位线性质可证得,由线面平行的判定定理可证得结论;(2)作,利用面面垂直的性质可知即为所求四棱锥的高,由棱锥体积公式可求得结果.【详解】(1)证明:连接,设与相交于点,连接,四边是平行四边形,点为的中点,又为的中点,为的中位线,,又平面,平面,平面.(2)平面,平面,平面平面.连接,作,垂足为,平面平面,平面.,,,\n在中,,.四棱锥的体积.20.在中,内角A,,的对边分别为,,,的面积S满足.(1)求;(2)若为锐角三角形,,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先利用面积和余弦定理化简已知式,得到,再结合范围即得;(2)先利用正弦定理解得,结合代入化简求得,再根据锐角三角形得到,即求得的取值范围.【详解】解:(1)由题得,,,而,故;(2)由正弦定理得,,,故,\n∵为锐角三角形,∴,,∴,∴,,故,即的取值范围是.21.某公司计划购买1种机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若,求与的函数解析式;(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件,或每台都购买19个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件?(3)若该公司计划购买2台该机器,以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率,求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率.【答案】(1);(2)购买1台机器的同时应购买19个易损零件;(3)0.1584.\n【解析】【分析】(1)由题意与柱状图,即可用分段函数的形式表示与的函数解析式;(2)分别求出买18个和19个零件所需要的平均数,比较平均数的大小即可;(3)用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的乘法公式求解即可【详解】(1)(2)若每台都购买18个易损零件,则购买易损零件费用的平均数(元)若每台都购买19个易损零件,则购买易损零件费用的平均数(元)所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(3)将两台机器编号为1号、2号,设事件“1号机器需要更换的易损零件为个”,事件“2号机器需要更换的易损零件为个”,设事件“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”,,两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.22.如图,四棱锥P-ABCD中,AD=2,AB=BC=CD=1,AD∥BC,且PA=PC,PB=PD.(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值.\n【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)取AD中点O,连PO,AC,BO,CO,证明PO⊥平面ABCD即可得平面PAD⊥平面ABCD;(2)过O作OH⊥PF交PF于H,求出点A到平面PBD的距离,利用求解即可.【详解】(1)取AD中点O,连PO,AC,BO,CO,设AC与BO交于E,CO与BD交于F,连PE,PF.在等腰梯形ABCD中,由AO∥BC且AO=BC=AB,故四边形AOCB为菱形,∴AC⊥BO.又PA=PC,且E为AC中点,∴AC⊥PE,又PE∩BO=E,∴AC⊥平面PBO.又∵POÌ平面PBO,∴AC⊥PO;同理,由四边形DOBC为菱形,且PB=PD,∴BD⊥PO.又直线AC与BD相交,∴PO⊥平面ABCD,又∵POÌ平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)设,过O作OH⊥PF交PF于H,由BD⊥平面POC,故BD⊥OH.又PF∩BD=F,∴OH⊥平面PBD,,故.又AD=2OD,故点A到平面PBD的距离.设直线PA与平面PBD所成角的大小为.则.当且仅当,即时取等号,\n故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为.【点睛】关键点点睛:根据线面角的正弦值,即斜线端点到平面距离与斜线段长的比值得到关于变量的函数关系,利用均值不等式求最值是关键,属于中档题.
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高中 - 数学
发布时间:2022-07-18 17:04:38
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