北京市东城区2022届高三数学二模试卷（Word版附答案）

2022北京东城高三二模数学2022．5本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，第4项的系数为（A）（B）80（C）（D）10（4）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（A）（B）（C）（D）（5）《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载．已知圆周率π小数点后20位数字分别为14159265358979323846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上\n一点．若的一条渐近线方程为，则（A）（B）（C）（D）（7）已知，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知点在直线上，则当变化时，实数的范围为（A）（B）（C）（D）（9）已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列（A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项（D）无最大项，无最小项（10）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（A）1（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知复数满足，则________；________．（12）已知向量满足，且，则________．（13）已知抛物线，为上一点，轴，垂足为，为的焦点，为原点．若，则________．（14）已知奇函数的定义域为，且，则的单调递减区间为________．满足以上条件的一个函数是________．\n（15）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）在中，．（I）求；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．条件①:，边上中线的长为；条件②:，的面积为6；条件③:，边上的高的长为2．注:如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题13分）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据，分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如下图所示．\n（I）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（Ⅱ）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）（18）（本小题14分）如图，平面平面，，分别为的中点，．（I）设平面平面，判断直线与的位置关系，并证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．（19）（本小题15分）已知．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围．\n（20）（本小题15分）已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点直线分别交直线于点．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，求证:．（21）（本小题15分）对于数列，定义变换将数列变换成数列，记．对于数列与，定义．若数列满足，则称数列为数列．（I）若写出，并求；（Ⅱ）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；（Ⅲ）若数列满足，求数列的个数．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准2022.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C（2）A（3）A（4）B（5）D（6）C（7）B（8）B（9）A（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）\n（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）APDCBMO解：（Ⅰ）在中，因为，所以.所以，即.因为，所以.所以.………………6分（Ⅱ）选择条件②：在中，，解得.所以.解得.在中，因为，所以.………………13分选择条件③：在中，因为，，所以.在中，=.\n在中，可得.………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由图可知，从2011年到2021年这11年中，2011年、2015年和2019年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值.因此，从2011年到2021年中随机选取1年，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率为.………………3分（Ⅱ）在这12年中，2010年、2011年、2014年、2018年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值.X的所有可能取值为0，1，2.，，，所以X的分布列为X012P故X的数学期望E(X)＝.………………11分（Ⅲ）这200名学生的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）直线，证明如下：APDCBMOAPDCBMO因为D，O分别为PA，AC中点，所以.又因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．………………5分\n（Ⅱ）连结.因为，为中点，所以.因为平面平面，所以.所以.因为，所以.如图，建立空间直角坐标系，则，，，．因为点D为PA中点，所以.所以，.设为平面的法向量，则即令，则，，可得．设直线与平面所成角为a，因为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.………………14分（19）（共15分）\n解：函数的定义域为.（Ⅰ）当时，，.所以，.所以曲线在点处的切线方程为.…………5分（Ⅱ）当时，由有，故曲线在轴的上方.当时，.令得或（舍去）.当变化时，，变化情况如下：+↘↗当，即时,在区间上单调递增，则，即曲线在轴的上方.当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则.由时，曲线在轴的上方，有，解得.\n所以.综上，实数的取值范围为.……15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，知解得,.故椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为.由消去，得.由及，解得的取值范围为.设，则，.直线，令，得，点.同理，点.由题设知，,.因为\n，所以，且与同号.依题意，得，且点位于轴同侧.因为,所以.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由于，可得..所以.……………4分（Ⅱ）.因为列为数列，所以.对于数列中相邻的两项，令.若，则；若，则.记中有个，个，则.因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，因此不存在符合题意的数列.……………9分（Ⅲ）首先证明.对于数列，有.\n..因为，，所以.所以.其次，由数列为数列知，解得.这说明数列中的任意相邻的两项不同的情况有2次,也就是数列中所有的相邻，所有的也相邻.若数列中的个数为m个，此时数列有n个，所以数列的个数共有个.………………15分