北京师范大学第二附属中学2021-2022学年高二数学下学期期中考试试题（Word解析版）

2021-2022学年度高二下期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1.若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为A.B.C.D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】，，，可以归纳出数列的通项公式．【详解】依题意，，，，所以此数列的一个通项公式为，故选C．【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．2.设数列的前项和，则的值为（）A.15B.16C.17D.18【2题答案】【答案】A【解析】【分析】利用得出数列的通项，然后求解.【详解】由得，，，所以，所以，故.故选：A.【点睛】本题考查数列通项公式求解，较简单，利用求解即可. 3.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示（）A.5件产品中有3件次品的概率B.5件产品中有2件次品的概率C.5件产品中有2件正品的概率D.5件产品中至少有2件次品的概率【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据古典概率的计算方法，对选项进行逐一计算判断即可.【详解】选项A.5件产品中有3件次品的概率,故选项A不正确.选项B.5件产品中有2件次品的概率,故选项B不正确.选项C.5件产品中有2件正品的概率,故选项C不正确.选项D.5件产品中至少有2件次品的概率,故选项D不正确.故选：B4.将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】C【解析】【分析】先求事件发生的总可能情况数，再求问题的事件发生情况数，两者比值即为所求.【详解】抛掷硬币3次所有可能结果为种，其中恰好出现2次正面向上的事件有种，据此可得恰好出现2次正面向上的概率为：.故选：C. 5.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a,i=1,2,3,则a的值为A.1B.C.D.【5题答案】【答案】C【解析】【分析】利用离散型随机变量分布列的性质计算即可.【详解】∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a•（）i，i＝1，2，3，∴a＝1，解得a＝．故选C．【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的运用，属于简单题．6.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)A.B.C.D.【6题答案】【答案】D 【解析】【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)．7.若数列满足，，则该数列的前2022项的乘积是（）A.B.C.2D.1【7题答案】【答案】A【解析】【分析】由，可进行递推得到，再将与的关系带入即可得到，然后再递推一项即可得到数列是周期为4的一个周期数列，然后计算，，，先计算，然后再求前2022项的乘积即可.【详解】因为，所以，则，所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列，因为，所以，，，所以，所以.故选：A.8.已知是等比数列，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分 也不必要条件【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列是等比数列，可假设，则，可知，但数列不是递增数列，若数列是递增数列，由定义可知，，故“”是“是递增数列”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列的单调性，巧取特殊值，快速解决问题，属基础题.9.等比数列中，，，函数，则A.B.C.D.【9题答案】【答案】C【解析】【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.详解】 又本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为A.B.C.D.【10题答案】【答案】B【解析】【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组．【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知消去，并整理得，所以（舍去），，于是有．在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以必为2的被数，且，故这样的数组共50组．答案选B．【点睛】此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对 象的本质特征，如本题中能构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的．这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题．二、填空题（共5小题；共25分）11.已知函数，且，那么的值为_____．【11题答案】【答案】3【解析】【分析】求导得，进而由可得结果.【详解】由得，则，解得.故答案为：3.12.已知等差数列，，，则______．【12题答案】【答案】-88【解析】【分析】根据等差数列前n项求和公式直接计算即可.【详解】由题意得，等差数列中，所以.故答案为：-88.13.已知等比数列满足且，则________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】 由得，再求出.【详解】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：14.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【14题答案】【答案】【解析】【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．15.有名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学编号依次为：1，2，…，，在游戏中，除规定第位同学看到的像用数对（其中）表示外，还规定：若编号为的同学看到的像为，则编号为的同学看到的像为，，已知编号为1的同学看到的像为，则编号为5的同学看到的像是______，编号为的同学看到的像为______．【15题答案】【答案】①.②.【解析】 【分析】由已知，设编号为的同学看到的像为，根据和使用累加法先求解出，然后再计算，再令，计算编号为5的同学看到的像即可完成求解.【详解】设编号为的同学看到的像为，由题意可得，，所以，，，，且，，，，所以，又因为，所以，而，所以，所以当时，，，即编号为5的同学看到的像是，编号为的同学看到的像为.故答案为：；.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.【16题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）因为，则；（2）所求切线斜率为，当时，，切点坐标为， 因此，函数的图象在点处的切线方程为.17.已知数列，其前项和为，满足_______请你从①，；②；③，中选择一个，补充在下面的问题中并作答．（1）求数列通项公式：（2）当时，求的最大值．【17题答案】【答案】（1）若选①.；若选②.；若选③.（2）若选①.的最大值为7；若选②.的最大值为6；若选③.的最大值为100【解析】【分析】（1）若选①可得是以1为首项，4为公差的等差数列，从而得出通项公式；若选②.先求出首项，然后由递推关系得出，从而可得为等比数列，得出答案；若选③.由递推关系可得，结合条件可得出为常数列，从而得出答案.（2）根据（1）中选择的条件得出的通项公式，求出，结合通过解不等式可得答案.【小问1详解】若选①.由，即，则是以1为首项，4为公差等差数列.所以若选②.由，则当时，，则当时，由，则由两式相减可得：所以是以1为首项公比为2的等比数列.则若选③.由，则，所以 由，则所以为常数列，且【小问2详解】若选①.由，即，解得所以的最大值为7.若选②.由，即，解得所以的最大值为6.若选③.由，则由，即，所以的最大值为100.19.在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，表示摸出红球的个数.（1）求的分布列；(用数字作答)（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)【19题答案】【答案】（1）分布列答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）由题意可知可取的值为：0，1，2，3，由组合数公式分别求出其对应的概率，列出分布列即可；（2）至少摸到2个红球，则可以摸到2个红球或者摸到3个红球，根据（1）中分布列读出，相加即可.【详解】（1）的取值为0，1，2，3，则，， ，∴的分布列为：0123（2）中奖的概率为.【点睛】本题考查学生求简单随机事件的分布列问题，并能根据分布列求随机事件的概率，考查了学生运用组合数处理相关问题的概率，为容易题20.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案：不分类卖出，单价为元.方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.【20题答案】【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析【解析】 【分析】（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.【详解】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则恰好抽到个礼品果的概率为：（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：则；；；的分布列如下：【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望实际应用、超几何分布的分布列与数学期 望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.21.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值．【21题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，结合、为整数可求得、的值，即可求得函数的解析式；（2）在曲线上任取一点，其中，利用导数求出切线在处的切线方程，求出该切线与直线和直线的交点坐标，并求出直线和直线的交点坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，解得，因此，.【小问2详解】证明：函数的定义域为， 在曲线上任取一点，其中，，所以，曲线在处的切线方程为，联立可得，所以，直线与切线交于点，联立可得，所以，直线与切线交于点，直线与直线交于点，则，所以，.23.已知项数为的数列满足条件：①；②；若数列满足，则称为数列的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列存在“关联数列”，证明：；（3）已知数列存在“关联数列”，且，，求数列项数m的最小值与最大值.【23题答案】 【答案】（1）存在关联数列：，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m的最小值与最大值分别为和.【解析】【分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断.（2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列和求“关联数列”的项的特征结合单调性分析出，根据求解.【详解】（1）因为，所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”，10，9，8，7.（2）因为数列存在“关联数列”，所以，所以，所以为递减数列，又因为，所以，所以，所以；（3）因为数列存在“关联数列”，所以任意，，因为，所以， ，由（2）知，又，所以，解得，因为，所以，所以m的最小值与最大值分别为和.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.