湘鄂渝大联考雅礼十六校2021-2022学年高三数学下学期第二次联考试题（Word版带答案）

大联考雅礼十六校2022届高三第二次联考数学雅礼中学南雅中学宁乡一中浏阳一中常德一中永州一中邵阳二中郴州二中联合命制慈利一中衡东一中凤凰一中芷江民中韶山学校武汉二中孝感高中重庆八中总分：150分时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={{∅}，∅},下列选项中均为A的元素的是A.⑴⑵B.⑴⑶C.⑵⑶D.⑵⑷2.某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为A.2B.C.D.13.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（       ）A.0.003B.0.096C.0.121D.0.216 4.在正三角形ABC中，M为BC中点,P为三角形内一动点，且满足PA=2PM，则最小值为A.1B.C.D.5.已知,的一条切线与有且仅有一个交点，则A.k=-3，b=3B.k=-3，b=-3C.k=3，b=3D.k=3，b=-36.从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为A.360B.630C.1170D.8407.已知数列满足则A.B.C.D.8.P、Q、R是等腰直角三角形ABC（)内的点，且满足，则下列说法正确的是A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有A.一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据就是中位数 B.分层抽样为保证每个个体等可能入样，需在各层中进行简单随机抽样C.若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件D.线性回归分析中，的值越小，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好10.已知曲线C：，焦点为F1、F2，O（0,0），过A（0，2）的直线l与C交于M、N两点，则下列说法正确的有A.x+y=0是C的一条对称轴B.C的离心率为C.对C上任意一点P皆有D.最大值为11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（       ）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积12.下列不等式正确的有 A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，，则=14.设函数，参数，过点（0,1）作曲线的切线（斜率存在），则切线斜率为15.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,若C与直线y=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P,使得，则双曲线离心率取值范围范围为yx16.坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成。某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的轴上方的某区域。他设计扫描棒黑、白两端分别在半圆、上移动。开始时扫描棒黑端在点，白端在的点。接着黑、白两端各沿着、逆时针移动，直至白端碰到的点便停止扫描，则B坐标；扫描棒扫过的区域的面积为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若,，求c的最小值. 18.已知数列满足（1）求证：数列为递增数列；（2）求证：.19.“不关注分数，就是对学生的今天不负责；只关注分数，就是对学生的未来不负责。”为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下：月份x24681012净利润（万元）y0.92.04.23.95.25.1（1）设。试建立y关于x的非线性回归方程和（保留2位有效数字）；（2）从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（计x=14）的净利润（保留1位小数）.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．②参考数据：．20.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．21.已知曲线C：，，，过作直线l与C交于A，B两点，满足，且.设为C的离心率.（1）求；（2）若，且，过点P（4,1）的直线l1与C交于E,F两点，l1上存在一点T使，求T的轨迹方程.22.已知函数，且正数a，b满足.（1）讨论的单调性； （2）若的零点为，，且m，n满足，，求证：.(其中是自然对数的底数)数学参考答案123456789101112BABDABCCBCABDABDAD13.14.me-115.16.,17.由得………………………………………………………………1分由正弦定理由余弦定理整理得………………………………………………………………3分∴由余弦定理……………………………………………………………………4分又，得……………………………………………………5分又整理得………………………………………………………………7分由得……………………………………………………………………………9分∴的最小值为……………………………………………………………………………10分 18.（1）取倒数得…………………………………………………………2分整理得………………………………………………………………4分故数列为递增数列…………………………………………………………………………5分（2）…………………………………………………8分∴……………………………………………………………9分又则，……………………………………………………………10分∴，即……………………………………………………………………12分19.（1）代入数据计算，得到…………………………………………………2分∴模型1：…………………………………………………………………3分代入数据计算，得到…………………………………………………………5分∴模型2：……………………………………………………………………6分（2）代入数据计算，得到…………………………………………………8分代入数据计算，得到………………………………………………………10分∴模型1拟合效果更好则次年2月净利润………………………………………………12分 20.（1）证明：如图，过射线上一点作交于点，作交于点，连接，则是二面角的平面角．…………………………………………………2分在中和中分别用余弦定理，得，，两式相减得，…………5分∴，两边同除以，得．…………………………6分（2）①由平面平面，知，∴由（1）得，…………………………………………8分∵，，∴．………………………………………………………………9分②在直线上存在点，使平面．连结，延长至，使，连结，在棱柱中，，，∴，∴四边形为平行四边形，∴．…………………………………………………………………………………10分在四边形中，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，…………………………………………………………………………………11分又平面，平面，∴平面．∴当点在的延长线上，且使时，平面．……………………12分 21.（1）由题l斜率存在且不为0，令设,与联立得……………………………………1分则，…………………………………………2分消去,，不妨设……………………………………………………3分则整理得到…………………………………………………4分解得………………………………………………………5分（2）由题知C：若l1斜率不存在，则与C无交点，不合题意若l1斜率存在，设l1：，与联立得设，得，得……………………………………………7分设由题知即=代入得=……………………………………………………………………8分 若=，则………………………………………………9分消去k得到……………………………………………………………10分若=，则………………………………………………11分消去k得到……………………………………………………………12分综上，T的轨迹方程为或22.令，则由题知即∴，即………………………………………………………………………………2分而令，则，且对称轴而易知当时在单调递减，在单调递增当时在单调递减.……………………………………………………4分（2），由…………………………………………………………………………5分 即……………………………………………………………………6分由（1）知…………………………………………………8分即有……………………………………………9分两式相减得………………………11分即整理得………………………………………………………………12分