东北三省三校2022年高三数学（理）第二次联合模拟考试试卷（PDF版附答案）

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2022年高三第二次联合模拟考试理科数学答案一、选择题1-6．ABCDBA7-12DBCADAx3x12题解析：（1）双曲线y，以y和y轴为渐近线（2）双曲线两条渐近线的夹角为60，焦点所在的3x3yx3x23222223ba2对称轴为yx3（3）解方程组x3，得，因此axy6（4）tan30,2b；y2933a3xy2二、填空题313.1000此题答1000也可以给分14.[,]1415.16.①③④(12)3三、解答题17.（1）证明：设AB的中点为M，连接BMCM,1正方形ABBA中，BB=BABM，=AD,BBM≌BAD，1111⊥BDBM，1AA⊥平面ABC，CM平面ABC⊥AACM，11又ACBCM=⊥,AB为CMAB中点，，ABAAA=，⊥CM平面ABBA，----------------3分111BD平面ABBA⊥BDCM，11BMCM=MBM,,平面BCMCM平面BCM，⊥BD平面BCM11111BC平面BCM，⊥BDBC----------------6分111（2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B(0,0,2),(3,1,1),(0,2,0)DC1BD==(3,1,1),BC(0,2,0)BD=(3,1,1),−BC=(0,2,2)−11设平面BDC的法向量n=(,,)xyz111BDn=03++xyz=0111,BCn=020y=则，1取n=−(1,0,3)------------8分设平面BDC1的法向量m=(,xyz22,)2BDm1=030x2+y2−z2=则，，取m=(0,1,1)------------10分BCm1=02yz22−=20试卷第1页，共6页 nm6则cosnm,==−nm46所以二面角BDC−−B1的余弦值为.------------12分4222CCC64218.解：（1）若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，共=15种不同的方法，3A3222CCC242其中班级代号为1，2的两个班合班看护共=3种不同的方法，2A2记A表示事件”班级代号为1，2的两个班合班看护“31则其概率PA()==----------------4分155（2）X的可能取值为0，1，2，3312213C1CC1CC3C1646464P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==3333C6C2C10C3010101010---------------8分X的分布列为：X01231131P621030---------------10分11316数学期望EX()=++012+3=.---------------12分621030519.设等差数列{}an的公差为d，3a3d4+a=d+，11由条件，------------------1分()(ada2)++=7d+ad，111a=0a=1a=1111解得，或，d0，d=0d=2d=2∴an=+1（n−=1)22n−1------------------3分221∵3b2nbb0nn++11+bn−=，∴(bn++11+bn)(3bn−bn)=0，∵bn0，∴bbnn+1=3b1bb=10,0,，n+1又1n=，b3n1∴{}bn是以1为首项，为公比的等比数列.3n−11∴bn=-----------------6分3试卷第2页，共6页 1n−127n−（2）bnannn=a=()n−,21,+6621+−，即n，即n恒成立3bn+1133------------------7分27n−25n2n−7n−4(−−4)设c=，则cc−=−=，------------------9分nnnn+1nn++n113333即nc=c1,2,3n=cc=nn时4N5,c*c,；时；时nn+n1+n1+n1n1=n45或时，c=为{}c的最大项.------------------11分nn8111∴，故实数的最小值为.------------------12分818120.解：（1）()(1)(2)xfxxae=+−，则fa(0)2=−，由已知(2)aa−1=−，故a=1------------------2分x（2）fx()x(ae=1)(+−2)x(ⅰ)当a0时，ae−20，则fx()在(,1)−−上单调递增，在(1,−+)上单调递减；------------------3分x2(ⅱ)当a0时，令ae−=20，得x=ln，a2①02ae时，ln1−，a22则fx()在(,1)−−上单调递增，在(1,ln)−上单调递减，在(ln,)+上单调递增；--------------4分aax+1fx()x2(e=+1)(−1)0fx()(,−+)②ae=2时，，则在上单调递增；--------------5分2③ae2时，ln1−，a22则fx()在(,ln)−上单调递增，在(ln,1)−上单调递减，在(1,−+)上单调递增.-----------6分aa（3）（方法一）2xfx()lnxx−−−x2(x0)等价于axexx−−+lnx10(0)1xx−2当a时，axexx−−+lnxe1lnxx1(0)−x−+------------------7分2ex−2x−21令gx()=xe−lnxx−+1，gx()=(x+1)(e−)xx−2111令hx()e=−，则hx()在区间(0,)+上单调递增∵h(1)10=−，h(2)=0，xe2x−21∴存在x(1,2)，使得hx()=0，即e0=，xx−=−2ln------------------10分0000x0试卷第3页，共6页 当xx(0,)时，gx()0，则gx()在(0,x)上单调递减，00当xx+(,)时，gx()0，则gx()在(,x)+上单调递增00x−21∴gx()=gx()=xe0−lnx−x+=1x+x−−2x+=10min0000000x02∴gx()0，故fx()lnxx−−−x2------------------12分（方法二）1xx−2当a时，axexx−−+lnxe1lnxx1(0)−x−+------------------7分2exxx−+−2ln2gx()xeln=xx1−(ln−+=e2)1xx−+−−------------------9分令txx=+−ln2，则tR，-----------------10分tt令kt()e1t=−−，则kt()e1=−当t0时，kt()0；当t0时，kt()0∴kt()在区间(,0)−上单调递减，(0,)+上单调递增.∴kt()k(0)=0，即gx()02∴fx()lnxx−−−x2---------------12分pp221.1）焦点FFP(,0),(3)4=25−−+=pp=02222抛物线E的标准方程为yx=4-----------------2分（2）显然，直线AB斜率存在，设AB的方程为ykx−=2(3)+ykx−=2(3)+22由2得，ky−4y++812k=0,k0,=16(3−k−2k+1)0,yx=448设Axy(,),(,1122Bxy)，则y1y2yy+12==+,12，−yy12=+y1y2122()---------①kk2y1直线AC的方程为y−y1=−x，42y1y−y1=−x222由4得，yyy−44y0+y1644−==1y1)1−0−1，(，yx2=4设Cxy(,33)则yy13+=4---------②由①②得(4−yy3)2−12=2(4−y3+y2),2(y2+y3)=yy23+20---------③-----------------4分试卷第4页，共6页 22y3（i）若直线BC没有斜率，则yy23+=0，又2()y202y3yy+23=+，=yx33==20，5,4=BC的x方程为5.----------------5分yy−423（ii）若直线BC有斜率，为=，xxy−+y232324y24(x)y−0yy++=yy直线BC的方程为yy−x=−2()，即2323，yy+423将③代入得4(x)y−2(yy+)200+2+3y2−y3=，+()(2y−23y+y)4(−x=5)0，故直线BC有斜率时过点(5,2).由（i）（ii）知，直线BC过点(5,2).-----------------8分11(3)SPQ=y−y=|y|8y4yy−=−11212122211SPQ=y−y=|y|8yy4y4y4−y=−=+−-----------------9分2232323122224816324321−−kk+由（2）得y1y2yy+12==+,12，yy12−=−−=248kkkkk||21kkk=k0k，16(3−−+−21)0,1,0,且322S1yy12−432−1−3k+2k−1k−k+===-----------------10分Syyk+−−414212||k4−k1设kut−=1,=，u2S1−(u2)(3u+u+u2)++38422==−=−−−=−++4t8t3t4(1)122Suu21312−1k,且k−0,t(,1)−（−1，-)−4(++t1)1(0,1)，322S1故的取值范围是(0,1).-----------------12分S222解(1)极点OAB为的中点，OAOB==2,C1的极坐标方程为=2,2222由=+xy,得C1的直角坐标方程为xy+=4,-----------------3分由cos(+)=6,得cos−sin−62=0,4试卷第5页，共6页 cos=x,sin=y,l的直角坐标方程为x−−y62=0.-----------------5分2xx=，xx=2222224(2)由得2，代入xy+=4,得24xy+=6yy=6yy=62xy22x=2cos,所以C2的普通方程为+=1，C2的参数方程为(为参数），------------7分26y=6sin设P(2cos,6sin)为C2上任意一点，点P到l的距离为d，22cos（+-2）62cos-6sin-623则d==−+=62cos()223所以当cos(+)18=−=时,d，当cos()1+=4=时，dmaxmin33所以P到l的距离的取值范围是4,8------------------10分12,x−，21123.解：（1）方法一：fx()x4,x=−−，221−2,x，211fx()[在−,]上单调递减，所以fx()的值域为−2,2-------------------------2分22方法二：21xx2−−x1x(21)(2+−−1)2+=11，当且仅当(2xx−1)(2+1)0，即x−或x等号取到22−221−−21xx2+，所以fx()的值域为−2,2222222222原不等式xy−4x−4y+160xy（−4)4(4+−y)0（−−4)(4yx)022−22,2xy2,(4yx−)(4)0−−成立，2222xy+164x+4y成立.-------------------------5分（2）由（1）得ab=−2,=2，−yzyz2+2,215zyz=+(2y)2(−zyz−2)y++z222−1225+=，z1.-------------------------10分试卷第6页，共6页