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辽宁省沈阳市2022年高考数学质检试卷(一)(一模)(Word版带解析)

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2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷(一)(一模)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)集合A={x|﹣2<x≤2},B={﹣2,﹣1,0,1},则A∩B=(  )A.{﹣1,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{﹣1,0,1}D.{﹣2,﹣1,0,1,2}2.(5分)已知i为虚数单位,若复数z=,则|z|=(  )A.1B.2C.D.3.(5分)关于双曲线C1:x2﹣y2=2与C2:y2﹣x2=2,下列说法中错误的是(  )A.它们的焦距相等B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同4.(5分)夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为和,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为(  )A.B.C.D.5.(5分)已知等差数列{an}的公差为2,且a2,a3,a5成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )A.n(n﹣2)B.n(n﹣1)C.n(n+1)D.n(n+2)6.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点,则|+4|的最小值为(  ),A.3B.6C.2D.47.(5分)已知a=log32,b=log43,,则(  )A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a8.(5分)若函数f(x)=ex+x3﹣2x2﹣ax,则a>e是f(x)在(0,+∞)有两个不同零点的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)某团队共有20人,他们的年龄分布如表所示,年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有(  )A.众数是32B.众数是5C.极差是17D.25%分位数是30(多选)10.(5分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx(x∈R),则(  )A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图像关于点中心对称D.f(x)的图像关于直线轴对称(多选)11.(5分)已知圆O:x2+y2=2,直线l:x+y﹣4=0,P为直线l上一动点,过点P作圆O的两条切线PA,PB,A,B为切点,则(  )A.点P到圆心的最小距离为B.线段PA长度的最小值为C.的最小值为3,D.存在点P,使得△PAB的面积为3(多选)12.(5分)若6a=2,6b=3,则下列不等关系正确的有(  )A.B.C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数f(x)=2cosx﹣cos2x的最大值为  .14.(5分)若展开式的二项式系数之和为64,则展开式中x3项的系数为  .(用数字作答)15.(5分)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是  .16.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠A1AC=∠A1AB=60°,∠BAC=90°,则四面体A1BB1C1的体积为  .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)从①,②b2+ac=a2+c2这两个条件中任选一个,补充到下面已知条件中进行解答.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____.(填写①或②,只可以选择一个标号,并依此条件进行解答.)(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面积为,求a.18.(12分)等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=14,b2b4=a6,且bn>0.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)已知:①bn<1000;②∃m∈N+,使am=bn.设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和,求S的值.,19.(12分)现有一种需要两人参与的棋类游戏,规定在双方对局时,二人交替行棋.一部分该棋类游戏参与者认为,在对局中“先手”(即:先走第一步棋)具有优势,容易赢棋,而“后手”(即:对方走完第一步棋之后,本方再走第一步棋)不具有优势,容易输棋.(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计,分数据如表所示.请将表格补充完整,并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛,采用三局两胜制(即:比赛中任何一方赢得两局就获胜,同时比赛结束,比赛至多进行三局).在甲先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为;在乙先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为.若比赛中“先手局”的顺序依次为:甲、乙、乙,设比赛共进行X局,求X的分布列和数学期望.附:,n=a+b+c+d.P(χ2≥k)0.100.050.10k2.7063.8416.63520.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,AB⊥AD,PA=AB=2,AD=2BC=2.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.,21.(12分)已知椭圆的短轴长为2,离心率为,点A是椭圆的左顶点,点E坐标为(1,0),经过点E的直线l交椭圆于M,N两点,直线l斜率存在且不为0.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM,AN分别交直线x=4于点P,Q,线段PQ的中点为G,设直线l与直线EG的斜率分别为k,k',求证:k•k'为定值.22.(12分)已知f(x)=ex﹣1﹣x.(1)求证:对于∀x∈R,f(x)≥0恒成立;(2)若对于∀x∈(0,+∞),有f(x)≥a(x2﹣x﹣xlnx)恒成立,求实数a的取值范围.,2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷(一)(一模)参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)集合A={x|﹣2<x≤2},B={﹣2,﹣1,0,1},则A∩B=(  )A.{﹣1,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{﹣1,0,1}D.{﹣2,﹣1,0,1,2}【分析】进行交集的运算即可.【解答】解:∵A={x|﹣2<x≤2},B={﹣2,﹣1,0,1},∴A∩B={﹣1,0,1}.故选:C.2.(5分)已知i为虚数单位,若复数z=,则|z|=(  )A.1B.2C.D.【分析】直接利用商的模等于模的商求解.【解答】解:由z=,得|z|=||=.故选:D.3.(5分)关于双曲线C1:x2﹣y2=2与C2:y2﹣x2=2,下列说法中错误的是(  )A.它们的焦距相等B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同【分析】求出双曲线焦距,顶点坐标,离心率,渐近线方程,即可判断选项.【解答】解:双曲线C1:x2﹣y2=2焦距4,顶点坐标(,0),离心率,渐近线方程y=±x,双曲线C2:y2﹣x2=2焦距4,顶点坐标(0,),离心率,渐近线方程y=±x,,故选:B.4.(5分)夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为和,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为(  )A.B.C.D.【分析】记事件A为甲地下雨,事件B为乙下雨,根据条件概率的公式能求出在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率.【解答】解:记事件A为甲地下雨,事件B为乙下雨,∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=,∴在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为:P(A|B)===.故选:C.5.(5分)已知等差数列{an}的公差为2,且a2,a3,a5成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )A.n(n﹣2)B.n(n﹣1)C.n(n+1)D.n(n+2)【分析】由已知列式求得a3,进一步求得首项,再由等差数列的前n项和公式求解.【解答】解:等差数列{an}的公差为2,且a2,a3,a5成等比数列,则,即,解得a3=4.∴a1=a3﹣4=0.∴{an}的前n项和Sn=.故选:B.6.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB,上的动点,则|+4|的最小值为(  )A.3B.6C.2D.4【分析】以B为原点建立平面直角坐标系,设A(0,m),D(1,m),P(0,y),结合平面向量的坐标运算推出|+4|=,故当4m﹣5y=0时,得解.【解答】解:以B为原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),C(2,0),设A(0,m),D(1,m),P(0,y),所以=(2,﹣y),=(1,m﹣y),所以+4=(6,4m﹣5y),所以|+4|=,当4m﹣5y=0,即=时,|+4|取得最小值,为6.故选:B.7.(5分)已知a=log32,b=log43,,则(  ),A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【分析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小.【解答】解:a=log32=log38<log39=log33==c,b=log43===,所以b>,0=c,故b>c>a.故选:A.8.(5分)若函数f(x)=ex+x3﹣2x2﹣ax,则a>e是f(x)在(0,+∞)有两个不同零点的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】将问题转化为a=+x²﹣2x,令g(x)=+x²﹣2x(x>0),利用导数讨论g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,由f(x)在(0,+∞)上有两个不同零点的充要条件为a>e﹣1,进而得到答案.【解答】解:f(x)=ex+x3﹣2x2﹣ax,令f(x)=0,则a=+x²﹣2x,令g(x)=+x²﹣2x(x>0),则g'(x)==0可得xex﹣ex+2x³﹣2x²=(ex+2x²)(x﹣1)=0,解得x=1,所以当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,又当x→0时,g(x)→+∞,所以g(x)最小值为g(1)=e﹣1,f(x)在(0,+∞)上有两个不同零点的充要条件为函数g(x)与y=a,的图象在第一象限有2个交点,所以a>e﹣1,即f(x)有2个零点的充要条件为a>e﹣1,又a>e是a>e﹣1充分不必要条件,所以a>e是f(x)在(0,+∞)有两个不同零点的充分不必要条件,故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)某团队共有20人,他们的年龄分布如表所示,年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有(  )A.众数是32B.众数是5C.极差是17D.25%分位数是30【分析】根据表中数据,分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可.【解答】解:根据表中数据知,这20个人年龄的众数是32,选项A正确、B错误;极差是45﹣28=17,选项C正确;因为20×25%=5,所以百分位数是30,选项D正确.故选:ACD.(多选)10.(5分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx(x∈R),则(  )A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图像关于点中心对称D.f(x)的图像关于直线轴对称【分析】由题意,利用三角恒等变换,正弦函数的图象和性质,得出结论.【解答】解:∵函数f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin(2x﹣),+(x∈R),故它的最小值为,故A错误;它的最小正周期为=π,故B正确;令x=,求得f(x)=﹣,可得f(x)的图像关于点(,﹣)中心对称,故C错误;令x=﹣,求得f(x)=﹣﹣,为最小值,可得f(x)的图像关于直线轴对称,故D正确;故选:BD.(多选)11.(5分)已知圆O:x2+y2=2,直线l:x+y﹣4=0,P为直线l上一动点,过点P作圆O的两条切线PA,PB,A,B为切点,则(  )A.点P到圆心的最小距离为B.线段PA长度的最小值为C.的最小值为3D.存在点P,使得△PAB的面积为3【分析】利用圆的有关性质,可求得P到圆心的最小距离,可判断A;同时可求PA长度的最小值,可判断B;同时可求•的最小值,可判断C;求出△PAB的面积的最小值可判断D.【解答】解:点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d==2,故A正确;由平面几何知识知线段PA长度的最小值为==,故B错误;由向量运算可知•的最小值为PA长度的最小同时∠APB最大时,所以PA=时,∠APB=60°,,所以•=××cos60°=3,故C正确;由平面几何知识知线段PA长度的最小时,△PAB的面积最小值为S△ABP=××sin∠APB=<3,所以存在点P,使得△PAB的面积为3.故D正确;故选:ACD.(多选)12.(5分)若6a=2,6b=3,则下列不等关系正确的有(  )A.B.C.D.【分析】由题意可知a=log62,b=log63,作商可判断选项A;由6a•6b=6a+b=2×3=6可得a+b=1,结合基本不等式可判断选项BC;利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项D.【解答】解:由6a=2,6b=3,得a=log62,b=log63,所以==log23>1,故选项A正确;由6a•6b=6a+b=2×3=6,得a+b=1,又a>0,b>0,a≠b,所以ab<=,故选项B正确;由选项B可知a2+b2=(a+b)2﹣2ab=1﹣2ab>1﹣2×=,故选项C错误;由换底公式得a=,b=,所以(b+)=×(+),由>0,>0,且≠,得+>2=2,,又>=2,所以(b+)>2×2>2,故选项D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数f(x)=2cosx﹣cos2x的最大值为  .【分析】利用换元法,通过三角函数的有界性,转化函数为二次函数,求出值域即可.【解答】解:f(x)=2cosx﹣cos2x=﹣2cos2x+2cosx+1,设t=cosx,t∈[﹣1,1],则g(t)=﹣2t2+2t+1=﹣2+,∴当t=时,g(t)max=,∴函数f(x)=2cosx﹣cos2x的最大值为,故答案为:.14.(5分)若展开式的二项式系数之和为64,则展开式中x3项的系数为 ﹣192 .(用数字作答)【分析】由已知求出n,然后再求出展开式的通项公式,令x的指数为3,由此即可求解.【解答】解:由已知可得2n=64,则n=6,所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C=C,令6﹣3r=3,解得r=1,则x3的系数为C=﹣192,故答案为:﹣192.,15.(5分)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是  .【分析】根据已知条件,结合全概率公式,即可求解.【解答】解:记A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的,B表示是女生,由题意可得,P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,由全概率公式可得,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为,故答案为:.16.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠A1AC=∠A1AB=60°,∠BAC=90°,则四面体A1BB1C1的体积为  .【分析】由题意画出图形,求出棱柱的高,再由等体积法求四面体A1BB1C1的体积.【解答】解:如图,设A1在底面ABC上的射影为O,∵∠A1AC=∠A1AB=60°,∴O在∠BAC的角平分线上,过O作OE⊥AB,垂足为E,连接A1E,,则A1E⊥AB,在Rt△A1EA中,AA1=2,∠A1AB=60°,∴AE=1,,在Rt△AEO中,AE=,∠OAE=45°,可得OE=1,∴.∴,∵,且A1到平面ABC的距离等于B到平面A1B1C1的距离,∴=.即四面体A1BB1C1的体积为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)从①,②b2+ac=a2+c2这两个条件中任选一个,补充到下面已知条件中进行解答.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____.(填写①或②,只可以选择一个标号,并依此条件进行解答.)(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面积为,求a.【分析】(1)选择条件①:利用正弦定理化边为角,再结合同角三角函数的商数关系,得解;选择条件②:利用余弦定理,求出cosB的值,即可;(2)由S=acsinB,可得ac=4,再结合余弦定理,得解.【解答】解:(1)选择条件①:由正弦定理及,知sinBsinC=sinCcosB,,因为sinC≠0,所以sinB=cosB,所以tanB==,因为B∈(0,π),所以B=.选择条件②:由余弦定理知,cosB===,所以B=.(2)因为△ABC的面积S=acsinB=ac×=,所以ac=4,由(1)知,b2+ac=a2+c2,所以4+4=a2+c2,即8=a2+,化简得a4﹣8a2+16=0,解得a2=4,又a>0,所以a=2.18.(12分)等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=14,b2b4=a6,且bn>0.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)已知:①bn<1000;②∃m∈N+,使am=bn.设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和,求S的值.【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差和公比,即可得到所求通项公式;(2)先由①可得n的取值;再由②通过列举法可得满足题意的n的值和bn的值,计算可得所求S.【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d和等比数列{bn}的公比为q,q>0,由a1=b1=1,a2+a4=14,b2b4=a6,可得1+d+1+3d=14,q•q3=1+5d,,解得d=3,q=2,则an=1+3(n﹣1)=3n﹣2,bn=2n﹣1;(2)①bn<1000,即2n﹣1<1000,解得n=1,2,3,...,10;②∃m∈N+,使am=bn,即3m﹣2=2n﹣1,可得m=1,n=1;m=2,n=3;m=6,n=5;m=22,n=7;m=86,n=9.所以S=1+4+16+64+256=341.19.(12分)现有一种需要两人参与的棋类游戏,规定在双方对局时,二人交替行棋.一部分该棋类游戏参与者认为,在对局中“先手”(即:先走第一步棋)具有优势,容易赢棋,而“后手”(即:对方走完第一步棋之后,本方再走第一步棋)不具有优势,容易输棋.(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计,分数据如表所示.请将表格补充完整,并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛,采用三局两胜制(即:比赛中任何一方赢得两局就获胜,同时比赛结束,比赛至多进行三局).在甲先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为;在乙先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为.若比赛中“先手局”的顺序依次为:甲、乙、乙,设比赛共进行X局,求X的分布列和数学期望.附:,n=a+b+c+d.P(χ2≥k)0.100.050.10k2.7063.8416.635【分析】(1)根据已知条件,结合独立性检验公式,即可求解.(2)由题意可得,X所有可能取值为2,3,分别求出对应的概率,即可得X的分布列,并结合期望公式,即可求解.【解答】解:(1)2×2列联表如下:,先手局后手局合计赢棋451055输棋301545合计7525100∵>2.706,∴有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)由题意可得,X所有可能取值为2,3,P(X=2)=,P(X=3)=1﹣P(X=2)=,故X的分布列为:X23P故E(X)=.20.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,AB⊥AD,PA=AB=2,AD=2BC=2.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.【分析】(1)以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z,轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,由,即可证明;(2)求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量,利用数量积公式可得答案.【解答】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,又∵AB⊥AD,∴AB、AD、AP两两互相垂直,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,如图,因为PA=AB=2,,则A(0,0,0),B(2,0,0),,,P(0,0,2),,,,因为,,所以,,即AC⊥BD,BD⊥PC,又因为AC⋂PC=C,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)解:设平面PCD的法向量为,平面PBC的法向量,,由,,,得,,令,得x1=1,z1=2;令x2=1,解得y2=0,z2=1,所以,,则,所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值为.21.(12分)已知椭圆的短轴长为2,离心率为,点A是椭圆的左顶点,点E坐标为(1,0),经过点E的直线l交椭圆于M,N两点,直线l斜率存在且不为0.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM,AN分别交直线x=4于点P,Q,线段PQ的中点为G,设直线l与直线EG的斜率分别为k,k',求证:k•k'为定值.【分析】(1)根据题意可得2b=2,及椭圆的离心率公式,即可求得a的值,再得到椭圆的方程;(2)设直线l的方程,代入椭圆方程,表示出直线AM的方程,即可求得P和Q点坐标,求得G点坐标,即可求得GE的斜率,结合韦达定理即可求得.【解答】解:(1)由题意可知,2b=2,即b=1,离心率,则a=2,,,所以椭圆C的方程:;(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程y=k(x﹣1),由,消去y,整理得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,所以,,又A(﹣2,0),所以直线AM的方程为:,其与直线x=4的交点为,同理,所以PQ的中点为,所以GE的斜率为======,所以.22.(12分)已知f(x)=ex﹣1﹣x.(1)求证:对于∀x∈R,f(x)≥0恒成立;,(2)若对于∀x∈(0,+∞),有f(x)≥a(x2﹣x﹣xlnx)恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数,令f′(x)=0,求出x=1,进而求出函数的单调性,即可求出函数的最小值,由此能证明对于∀x∈R,f(x)≥0恒成立.(2)将不等式转化为ex﹣1﹣lnx﹣1>a(x﹣1﹣lnx),令t=x﹣1﹣lnx,则et﹣1﹣at≥对∀t∈[0,+∞)恒成立,构造新函数g(t)=et﹣1﹣at(t≥0),利用导数讨论函数的单调性,求出最小值即可.【解答】解:(1)证明:由f(x)=ex﹣1﹣x,得f′(x)=ex﹣1﹣1,(x∈R),令f′(x)=0,得x=1,∴当x∈(﹣∞,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)≥f(1)=0,∴对于∀x∈R,f(x)≥0恒成立.(2)∵f(x)≥a(x2﹣x﹣xlnx),∴ex﹣1﹣x≥a(x2﹣x﹣xlnx),∴≥a(x﹣1﹣lnx),即ex﹣1﹣lnx﹣1≥a(x﹣1﹣lnx),令t=x﹣1﹣lnx,则,当x∈(0,1)时,t′<0,函数t=x﹣1﹣lnx单调递减,当x∈(1,+∞)时,t′>0,函九t=x﹣1﹣lnx单调递增,∴t≥1﹣1﹣ln1=0,即t≥0,∴et﹣1≥at,即et﹣1﹣at≥0对∀t∈[0,+∞)恒成立,令g(t)=et﹣1﹣at(t≥0),则g(0)=e0﹣1﹣a×0=0,g′(t)=et﹣a,若a<0,g′(t)≥0,g(t)在[0,+∞)上单调递增,∴g(t)min=g(0)=0,∴g(t)≥0,符合题意,若a>0,令g′(t)=0,得t=lna,则当t∈(0,lna)时,g′(t)<0,g(t)单调递减,当t∈[lna,+∞)时,g′(t)>0,g(t)单调递增,∴g(t)min=g(lna)<g(0)=0,不符合g(t)≥0,综上,a≤1,∴a的取值范围是(﹣∞,1].

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-03-29 16:17:05 页数:22
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文章作者:随遇而安

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