河南省济源平顶山许昌2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学（理）（Word版带解析）

济源平顶山许昌2021-2022学年高三第一次质量检测理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由对数的性质求集合A，由指数的值域求集合B，再根据集合交运算求.【详解】由，可得或，故或，又，∴.故选：C.2.若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数模的公式和复数的四则运算得Z，再由共轭复数的概念及复数的几何意义可得.【详解】因为所以所以，对应的点在第一象限故选：A.3.若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式、分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.【详解】由，可得：；由，则，可得；∵成立的一个充分不必要条件是，∴，可得.故选：D.4.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先变形为，再分子分母同除以，化为关于的方程，求出，进而求出结果.【详解】，则，分子分母同除以，得：，解得：，所以.故选：A5.函数的图像大致为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由解析式确定定义域，奇偶性定义判断奇偶性并结合，确定函数的大致图象即可.【详解】由解析式知：定义域为，，故为偶函数，排除D；又，，排除A、C；故选：B.6.中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3∶2.左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大､小五角星相似，其外接圆的直径之比为3∶1，相似图形和相似三角形性质相同.若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据相似比求出面积比，进而利用面积比求出几何概率.【详解】因为大､小五角星相似，外接圆的直径之比为3∶1，则大､小五角星面积比为9:1，由 几何概型公式可得：在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为.故选：D7.正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出结果.【详解】由题意，即，解得，∴，又，∴，则故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查平面向量基本定理．解题时可选取不共线向量为基底，把其他向量都用基底表示，然后求解．这种方法目标明确，思路清晰，易于求解． 8.中国古代的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A.36种B.72种C.108种D.144种【答案】B【解析】【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，由此计算出正确答案.【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，所以不同的排课顺序有种.故选：B9.已知，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设可得，根据对数的性质判断A；应用基本不等式判断B；根据指数函数、幂函数的单调性判断C；由基本不等式“1”的代换判断D.【详解】由题设，，即，则，A错误；由，又，可得，B错误；由知：，C错误；，又，∴，D正确.故选：D. 10.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由偶函数将转化到上，由指对数的性质判断自变量的大小关系，再由单调性判断函数值的大小关系.【详解】∵是定义在R上的偶函数，∴且，，且，∵在上单调递减，∴在上单调递增，则.故选：C11.已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用辅助角公式化简，再由图像平移写出的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定的最小值.【详解】由题设，，故， 要使且，则或，∴的最小值为1个周期长度，则.故选：B.12.抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点N（不同于点M），且满足，则点N的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设该直线方程为，当时，联立消去，得，设则由化简计算可得，即可求得时，可验证依然成立.【详解】直线过且斜率不为0，设该直线方程为，当时，联立消去，得，恒成立，设则，即即，则，即则， 即所以，即当时，两点关于轴对称，显然恒成立.综上所述，.故选：A.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.【答案】3【解析】【分析】令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.【详解】令，又，，，则，∴，故，∴.故答案为：3.14.在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为___________.【答案】2或##或2【解析】【分析】由余弦定理求得，结合勾股定理、平行四边形性质有△、△为等腰直角三角形，根据题设翻折后作，，且、交于，则有或，进而求长. 【详解】由题设，，即，∴由平行四边形的性质及勾股定理易知：△、△为等腰直角三角形，将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为，如上图示，作，，且、交于，显然为正方形，∴或，又，则，或，因为，所以，结合，所以平面，在△中，当时，；当时，故答案为：2或.15.如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________. 【答案】①.##60°②.【解析】【分析】由余弦定理求角B，设，应用正弦定理可得，根据已知条件有，即可求的大小，进而求△的面积.【详解】由余弦定理知：，而，∴，又，则，在△中，设，则，可得，又的垂直平分线交于点D，交AB于点E，则，∴，可得，而，故.∴，故△的面积为.故答案为：，.16.若函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ___________.【答案】【解析】【分析】利用导数易得时最小值为，再讨论参数a求时的最小值，结合已知最小值求参数的范围.【详解】当时，，易知：上，上，∴在上递减，在上递增，最小值为.当时，若，则在上递减，则最小值为，此时，，解得，故，符合题设；若，则在上递减，最小值为，此时，，符合题设；若，则在上递减，上递增，最小值为，此时，或，无解.综上，.故答案为：.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列的前n项和是，且，数列的通项为.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用的关系求的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法可直接求解.【小问1详解】当时，；当时，，显然满足上式，∴；【小问2详解】由（1）知：，所以①，②，①-②得：，∴.18.如图，正三棱柱的底面边长为2，. （1）求的长；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）为中点，连接交于，连接，易证，由中垂直的性质可得，结合直三棱柱的性质计算的长；（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.【小问1详解】若为中点，连接交于，连接，如下图示，∴为的中点，则，又，∴，又，故，由为正三棱柱，即底面为等边三角形且边长2，∴，，则在直角△中，.【小问2详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，， ∴，，，若为面的一个法向量，则，令，则，若为面的一个法向量，则，令，则，∴，则如图锐二面角的正弦值为.19.一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.（1）若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；（2）从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.【答案】（1）分布列见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）根据题设确定随机有放回的抽取2个小球的所有可能事件，进而确定X可能值，进而求各对应值的概率.（2）根据期望公式、方差与期望的关系，结合已知列关于x、y、z的方程，即可求比例.【小问1详解】由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，∴，，，，，∴X的分布列如下：23456【小问2详解】由题设，当时，，当时，，当时，，∴，，， ∴，则，，，∴.20.如图，、B分别是椭圆的左顶点和上顶点.圆O经过点B，P为椭圆C上一点，过A且与垂直的直线交圆O于两点C，D.若点在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将M点坐标带入方程，结合椭圆的几何性质及可解；（2）根据弦长公式用斜率表示出CD、AP，从而得到面积与斜率的函数关系然后可解.【小问1详解】 由题可得：解得：b=c=1所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】由（1）知圆O的方程为易知直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的斜率为，则直线AP的方程为带入椭圆方程整理得：所以所以直线AC的斜率为，方程为则圆心到直线AC的距离的面积整理可得：令 则又直线AC与圆相交，即，且当，即时，的面积最大最大值为.21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）已知，且，若，求证：.【答案】（1）在单调递减，在单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，注意到，研究的分子，最终求出的单调性；（2）先对同除以，变形为，再构造差函数解决极值点偏移问题小问1详解】，令，则，∴在单调递增，注意到∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增∴在单调递减，在单调递增【小问2详解】 等价于，等式两边同除以得：，即由（1）知：在单调递减，在单调递增∴，一正一负，不妨设构造新函数，则∴令，则当时，显然恒成立，所以又对恒成立，所以在时，，即单调递减∵∴，即∵∴其中，，且在单调递减∴，即【点睛】方法点睛：构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 22.以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线.（1）求的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求△面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出的坐标，由题意得，即，将代入即可得的直角坐标方程；（2）利用（1）及圆极坐标方程，设出B的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△面积的最大值为.【小问1详解】令，则，即，∴，由M为曲线上的动点，且的直角坐标方程为，∴，则，故.∴的直角坐标方程：.【小问2详解】设B的极坐标为（）.由题设知：|OA|=2，，∴△OAB面积， 当时，S取得最大值.∴△OAB面积的最大值为.23.已知函数，若实数a，b满足.（1）求不等式的解集；（2）证明：对于任意，都有.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论求绝对值不等式的解集即可.（2）令，只需证，结合分段函数的最值、基本不等式证明结论.【小问1详解】由题设，，当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得；综上，解集为.【小问2详解】由（1）知：，∴，又，则，可得，当且仅当时等号成立.∴，则对于任意，都有.