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北京市房山区2022届高三上学期期末考数学试题(Word版带答案)
北京市房山区2022届高三上学期期末考数学试题(Word版带答案)
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房山区2021-2022学年度第一学期期末考试高三数学本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,且,则实数取值的集合是(A)(B)(C)(D)(2)复数的实部是(A)(B)(C)(D)(3)在的展开式中,的系数是(A)(B)(C)(D)(4)下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的是(A)(B)(C)(D)(5)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为尺,春分当日日影长为尺,则立夏当日日影长为(A)尺(B)尺(C)尺(D)尺(6)已知双曲线的焦距为10,点在的渐近线上,则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)高三数学期末试卷15/15 (7)“”是“直线与圆相交”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)正四面体的棱长为1,现将正四面体绕着旋转,则所经过的区域构成的几何体的体积为(A)(B)(C)(D)(9)如图,某池塘里浮萍的面积(单位:)与时间(单位:月)的关系为.下列说法中正确的是(A)第5个月时,浮萍面积就会超过(B)浮萍面积每月的增长率不相等(C)浮萍每月增加的面积都相等(D)若浮萍面积为,,时所对应的时间分别是,则(10)某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质,下面是四位同学提出的结论:甲:曲线关于原点对称;乙:曲线都关于直线对称;丙:曲线与坐标轴在第一象限围成的面积;丁:曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.四位同学的结论中错误的是(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁高三数学期末试卷15/15 第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)抛物线的顶点到其准线的距离为.(12)在△中,,则____,△的面积____.(13)如图,网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点,则;的最大值为.(14)无穷数列的前n项和记为.若是递增数列,而是递减数列,则数列的通项公式可以为____.(15)设函数给出下列四个结论:①函数的值域是;②对,方程都有3个实数根;③,使得;④若互不相等的实数满足,则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是____.高三数学期末试卷15/15 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)在下列三个条件中,选择一个作为已知,使得实数的值唯一确定,求函数在上的最小值.条件①:的最大值为;条件②:的一个对称中心为;条件③:的一条对称轴为.注:如果选择的条件不符合要求,第(Ⅱ)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.(17)(本小题14分)如图,梯形,所在的平面互相垂直,,,,,,点为棱的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)判断直线与平面是否相交,如果相交,求出到交点的距离;如果不相交,求直线到平面的距离.高三数学期末试卷15/15 (18)(本小题14分)某种水果按照果径大小分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.一般的,果径越大售价越高.为帮助果农创收,提高水果的果径,某科研小组设计了一套方案,并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案,对照园未采用.实验周期结束后,分别在两片果园中各随机选取100个果实,按果径分成5组进行统计:[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](单位:mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图,并规定果径达到36mm及以上的为“大果”.(Ⅰ)估计实验园的“大果”率;(Ⅱ)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个,再从这10个果实中随机抽取3个,记“大果”个数为,求的分布列和数学期望的;(Ⅲ)以频率估计概率,从对照园这批果实中随机抽取个,设其中恰有2个“大果”的概率为,当最大时,写出的值(只需写出结论).(19)(本小题14分)已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆交于(不与点重合)两点,若直线与直线的斜率之和为,判断直线是否经过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.高三数学期末试卷15/15 (20)(本小题15分)已知函数,函数,其中.(Ⅰ)如果曲线与在处具有公共的切线,求的值及切线方程;(Ⅱ)如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围.(21)(本小题14分)若数列满足,则称为数列.记.(Ⅰ)写出一个满足,且的数列;(Ⅱ)若,证明数列是递减数列的充要条件是;(Ⅲ)对任意给定的整数,是否存在首项为的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.高三数学期末试卷15/15 房山区2021-2022学年度第一学期(中学)期末考试参考答案高三数学一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。12345678910BCACDABCDC二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)(12)(13)(14)答案不唯一,如;等比数列中,(15)①③④三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)(Ⅰ)函数的最小正周期………...………………3(7)(Ⅱ)选择条件①:由的最大值为,可知,所以……………...…………2(9)所以因为,所以……………...………...………………...……………1所以当,即时,……………………...…………………...………………2取得最小值……………...………………...………………...………………2(14)选择条件②:高三数学期末试卷15/15 由的一个对称中心为,可知,所以……………...………………...…………………………...…………2所以因为,所以……...………………...………………1所以当,即时,……...…………………...………………2取得最小值………...………………...………………2(14)(17)(本小题14分)(Ⅰ)证明:因为,所以又,,,所以平面.……...………………...…………………...………………...………3(Ⅱ)证明:因为平面,所以又所以两两互相垂直.………………...……………...………………...………………1如图以为原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.…...………………...……………...………………...………………1由,可知,,,,,,,,设为平面的一个法向量,则,即,….….….….….1令则,所以,…...………………...…………………...………………1高三数学期末试卷15/15 设为平面的一个法向量,则,即,…...………………...……………………...………………1令则,所以,…...………………...……………………...………………1则….………………...…………………...………………2易知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.…...………………...………………...………………1(Ⅲ)由,得因为所以与平面不平行,所以直线与平面相交.………...……………1在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知,所以.……………...………………...…………1(18)(本小题14分)(Ⅰ)由实验园的频率分布直方图得:所以估计实验园的“大果”率为………………...………………...…………3(Ⅱ)由对照园的频率分布直方图得:这个果实中大果的个数为:高三数学期末试卷15/15 个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个,其中大果有个………………...………………...…………1从这10个果实中随机抽取3个,记“大果”个数为,则的可能取值为,…………...….………………...…………1……...………………4所以的分布列为: 0 1 2 3 …………...….………………...……………...….………………..………1所以…………...….………………………………2高三数学期末试卷15/15 (Ⅲ)…………...….…………………………...….………………...…………2(19)(本小题14分)(Ⅰ)由离心率为,可得…...….…………………...….……………………………1因为为椭圆的上、下顶点,且,所以即,……………1又解得…...….…………………...….……………………………1所以椭圆的标准方程为…...….…………………...….……………………………1(4)(Ⅱ)直线经过定点,证明如下:…...….…………...….……………………………1①当直线的斜率存在时,设,(),由,得,….………….…...….…………...….………1则…...….…………...….…...….…………...….………1设则,,…...….…………...….…...….…………...….………2则…...….…………...….………2高三数学期末试卷15/15 所以…...….…………...….…...….…………...….………1所以直线的方程为,即所以直线经过定点.…...….…………...….…...….…………...….………1②当直线的斜率不存在时,设,,,·则解得,此时直线也经过定点…...….…………...….…...….…………...….………1综上直线经过定点.(20)(本小题15分)(Ⅰ)…...….…...….…………...….…………...….…...….…………...….………2由题意,公共切线的斜率,即…...….…...….…………...….………1又因为,所以切线方程为.…...….…...….…………...….………1(4)(Ⅱ)设函数.“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”.①当时,当时,,所以在单调递增.又因为,所以有且仅有一个零点,符合题意..….…………...….………3②当时,令,解得与的变化情况如下:高三数学期末试卷15/15 0↘↗所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,故有且仅有一个零点,符合题意...….…...….…………...….…………...….…...….………3③当时,令,解得.与的变化情况如下:0↘↗所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,因为,,且在上单调递增,所以又因为存在,使得所以存在使得,所以函数存在两个零点,与题意不符.…...….…………...….…………...….…...….…4高三数学期末试卷15/15 综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的范围是或....….…...….…………...….…………...….…...….…………...….1(21)(本小题14分)(Ⅰ)(或)..…...….…………...….…………...….…...….3(Ⅱ)必要性:因为数列是递减数列,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以...…...….…………...….…………...….…...….3充分性:由于,,…,所以,即,因为,所以,,所以数列是递减数列.综上,结论得证...…...….…………...….…………...….…...….3(Ⅲ)令,则.因为,,,所以高三数学期末试卷15/15 因为,所以为偶数,所以为偶数.所以要使,必须使为偶数,即整除,亦即或.当时,数列的项满足,,时,有,;当时,数列的项满足,,,时,有,.当,时,不能被整除,此时不存在数列使得,...…...….…………...….…………...….…...….5高三数学期末试卷15/15
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高中 - 数学
发布时间:2022-03-29 17:00:02
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文章作者:随遇而安
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