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北京市石景山区2020届高三上学期期末数学试题(Word版带答案)
北京市石景山区2020届高三上学期期末数学试题(Word版带答案)
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石景山区2021—2022学年第一学期高三期末试卷数学本试卷共6页,满分为150分,考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.设集合,,则A.B.C.D.2.已知为虚数单位,若,则复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设函数,则是A.奇函数,且在单调递增B.奇函数,且在单调递减C.偶函数,且在单调递增D.偶函数,且在单调递减4.将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则本数学书相邻的概率为A.B.C.D.5.记为等差数列的前项和,若,,则A.36B.45C.63D.756.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),其中自习时间的范围是[17.5,30],并制成了频率分布直方图,如右图所示,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图,这200名学生中每周的自习时间 不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.120D.1407.若,,则A.B.C.D.8.在△中,若,则A.B.C.D.9.设是首项为的等比数列,公比为,则“”是“对任意的正整数,”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,且,给出下列三个结论:①②△的面积与△的面积相等③三棱锥的体积为定值其中,所有正确结论的个数是A.B.C.D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。11.已知向量,若,则_________.12.双曲线的焦点坐标为________,渐近线方程为________.13.设函数则使得成立的的取值范围是________.14.若点关于轴的对称点为,则的一个取值为________.15.数学中有许多形状优美的曲线,如星形线,让一个半径为的小圆在一个半径为的大 圆内部,小圆沿着大圆的圆周滚动,小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图,已知,起始位置时大圆与小圆的交点为(点为轴正半轴上的点),滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论:①曲线上任意两点间距离的最大值为;②曲线的周长大于曲线的周长;③曲线与圆有且仅有个公共点.其中正确的序号为________________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。16.(本小题13分)已知函数,,从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(Ⅰ)的最小正周期;(Ⅱ)在区间上的最小值.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.17.(本小题14分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,侧面为直角三角形,,.(Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:;(Ⅲ)若,,,判断在线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的大小为.18.(本小题13分)某校组织“创建文明城区”知识竞赛,有,两类问题,每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类,然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答,若回答错误则比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,比赛结束.类问题回答正确得分,否则得分;类问题回答正确得分,否则得分.己知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为,能正确回答类中的每一个问题的概率均为,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(Ⅰ)若小明先回答类问题,记为小明的累计得分,求的分布列;(Ⅱ)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.19.(本小题15分)已知椭圆,为坐标原点,右焦点坐标为,椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)椭圆在轴上的两个顶点为,点满足,直线交椭圆于 两点,且,求此时的大小.20.(本小题15分)已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求的单调区间;(Ⅲ)求证:当≤时,≥.21.(本小题15分)记实数,中的较大者为,例如,,对于无穷数列,记,若对于任意的,均有,则称数列为“趋势递减数列”.(Ⅰ)已知数列的通项公式分别为,,判断数列是否为“趋势递减数列”,并说明理由;(Ⅱ)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”,求的取值范围;(Ⅲ)若数列满足,为正实数,且,求证:为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. 石景山区2021-2022学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.题号12345678910答案CAADBDDCBC二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.11.;12.,;13.;14.(答案不唯一);15.①③.三、解答题:本大题共6个小题,共80分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题13分)解:选条件①:;(Ⅰ),所以的最小正周期是.………………7分(Ⅱ)因为,所以≤≤,所以≤≤, 所以≤≤,当,即时,有最小值.………………13分选条件②:.(Ⅰ),所以最小正周期是.………………7分(Ⅱ)因为,所以≤≤,所以≤≤,当,即时,有最小值.………………13分17.(本小题14分)解:(Ⅰ)因为四棱锥中,,所以,因为,,所以.………………4分(Ⅱ)因为,,所以,又因为,所以,因为,,所以.………………9分(Ⅲ)存在,当为线段中点时,理由如下:由(Ⅱ)可知,因为,,所以,又,,如图以点为坐标原点,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 则,,,,.设平面的法向量为,由得令,所以.设(≤≤),则,所以,直线与平面所成角为,所以,解得,符合题意,所以当为线段中点时,直线与平面所成角的大小为.………………14分18.(本小题13分)解:(Ⅰ)由题可知,的所有可能取值为,,.;;.所以的分布列为………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.若小明先回答问题,记为小明的累计得分,则的所有可能取值为,,.;;,所以.因为,所以小明应选择先回答类问题.………………13分19.(本小题15分) 解:(Ⅰ)因为右焦点为,所以,因为离心率,所以,,所以椭圆的方程为.………………5分(Ⅱ)当直线垂直于轴时,(舍).当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,由整理得,设,由题意恒成立,所以,,,解得,所以直线的方程为.因为为椭圆在轴上的两个顶点,不妨设,因为,设,所以,即,即点在以原点为圆心,半径为的圆上.法一:因为原点到直线的距离,所以直线与圆相切,所以. 法二:联立解得即,或解得即,因为,所以.………………15分20.(本小题15分)解:(Ⅰ)因为,所以曲线在点处的切线方程为.………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,()因为,令,所以或,当时,,则的变化情况如下表:极大值极小值当时,,则恒成立,在内恒增;当时,,则的变化情况如下表:极大值极小值 综上,当时,单调递增区间是和,单调递减区间是;当时,单调递增区间是,无单调递减区间;当时,单调递增区间是和,单调递减是.………………10分(Ⅲ)当时,令,得或,易知则的变化情况如下表:极小值极大值所以当时,取得极小值由于,则,,,所以由极小值定义及的单调性可知:当时,.接下来,研究在的变化情况.因为恒成立,设对称轴,,所以由二次函数的性质可知:当时,恒成立所以在时恒成立.综上所述:当时,.………………15分21.(本小题15分)解:(Ⅰ)数列是“趋势递减数列”.因为是单调递减数列,,且.所以数列是“趋势递减数列”. 数列是“趋势递减数列”.因为,且.所以数列是“趋势递减数列”.………………4分(Ⅱ)当时,数列为单调递增数列,此时,且不满足题意;当时,数列为常数列,不满足题意;当时,数列为单调递减数列,此时,且,满足题意;当时,此时,且,满足题意;当时,此时,且,不满足题意;综上,的取值范围为.………………9分(Ⅲ)先证必要性:假设存在正整数≥使得,,令.因为,为正实数,且所以≥,故≥,则数列从开始以后的各项为,当≥时,与为“趋势递减数列”矛盾,故假设不成立,的项中没有.再证明充分性:得,因为的项中没有,所以对于任意正整数,,于是,所以.当时,,当时,, 所以为“趋势递减数列”.综上:为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.……………15分
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高中 - 数学
发布时间:2022-03-29 17:00:03
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