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江苏省苏州市2021-2022学年高三数学上学期期末调研试题(Word版附解析)
江苏省苏州市2021-2022学年高三数学上学期期末调研试题(Word版附解析)
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苏州市2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项:1.答题前,学生务必将自己的学校、班级、姓名、调研序列号填写在答题卡上.2.做答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.学生必须保持答题卡的整洁.调研结束后,将调研卷和答题卡一并收回.一、选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】为纯虚数,,,选A.2.设集合,,则集合的元素个数为A.B.C.D.【答案】B【解析】,,个元素.3.已知圆锥的高为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为A.B.C.D.【答案】A 【解析】设底面半径为,母线长为,侧面展开是一个半圆,即,,,,选A.4.在中,,点在边上,则“”是“为中点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”,不妨设,,则,则满足条件有两个,一个是中点,一个是点,不充分.为中点,,则,必要.“”是“是中点”的必要不充分条件,选B.5.记为等差数列的前项和,若,则A.B.C.D.【答案】C【解析】,,选C.6.北京时间年月日时分,神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射,受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感,某校决定矩形以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动.现有两队报名参加,两队均由两名高一学 生和两名高二学生组成,比赛共进行三轮,每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题,若每位成员被选中的机会均等,则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不会来自同一年级的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】四个学生来自同一年级的概率为,四个学生不全来自同一年级的概率为,选C.7.已知,则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.【答案】C【解析】,,,A错.,,,B错.,,,,,,,,C对.选C.8.若斜率为的直线与抛物线和圆分别交于和两点,且,则当面积最大时的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】法一:,则的中点与的中点重合,设此点为, 当时,取最大值,,令,,,,,选D.法二:,当且仅当时取“”,,,设直线方程为,,,中点 ,,选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.折纸发源于中国.世纪,折纸传入欧洲,与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具,并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图)是从正方形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图,则A.B.C.D.【答案】BCD【解析】如图,,则与不平行,A错.设,,B对. ,C对,D对,选BCD.10.下列命题正确的是A.若为复数,则B.若为向量,则C.若为复数,且,则D.若为向量,且,则【答案】AD【解析】令,,,,,,A对.,,B错.,,,C错.选AD.11.已知函数,则A.,函数在上均有极值B.,使得函数在上无极值C.,函数在上有且仅有一个零点D.,使得函数在上有两个零点 【答案】BC【解析】,时,,无极值,A错,B对.时,在上,,,在有且仅有一个零点.时,在恒成立,在时,,,在有且仅有一个零点.时,,或0,在,.时,,有且仅有一个零点.,有且仅有一个零点,C对,D错.12.甲同学投掷骰子次,并请乙同学将向上的点数记录下来,计算出平均数和方差.由于记录遗失,乙同学只记得这五个点数的平均数为,方差在区间内,则这五个点数A.众数可能为B.中位数可能为C.一定不会出现D.出现的次数不会超过两次【答案】ACD【解析】法一:,众数为,平均数为,方差,A对.若中位数为,设五次数据为,即,,,,矛盾,B错.若出现了,则其它四次和为,即数据为,矛盾,C对.若出现次,则其它2次和为4,这2次为, ,D对.法二:设向上的点数分别为,,,不妨取,,,则,A正确.对于B,不妨设,都中位数为3,则,,不可能为,B错.对于C,若出现,则,与矛盾,故不可能出现,C正确.对于6,假设出现2的次数超过2次,则至少有次.不妨设,,,这与矛盾,故D正确.选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.记数列的前项积为,写出一个同时满足①②的数列的通项公式:__________.①是递增的等比数列;②.【答案】(答案不唯一)【解析】,,.不妨设,则,. 14.设点是曲线上的任意一点,则到直线的最小距离是__________.【答案】【解析】的斜率为,设,切点,,,切点到的距离.15.已知分别为双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线的渐近线的对称点在上,则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】法一:设的中点为,为中点.为中位线,,则.,则,,..法二:秒杀令,则,如图,由《网课》解几公式“12”知,关于对称点为 即也在上,而,则,.16.已知直三棱柱中,,,分别为棱,的中点,过点作平面将此三棱柱分成两部分,其体积分别记为,则__________;平面截此三棱柱的外接球的截面面积为__________.(本小题第一空2分,第二空3分)【答案】;【解析】法一:取中点,取中点,连,平面为平面,,,,三棱锥外接球半径,如下图建系,,,,,设平面的法向量, ,,不妨设,则,球心到平面距离,,.法二:秒杀一图(1)图(2)图(3)由《几公式秒杀》课程知:截面过四等分点,由体积公式“”知, 而,.由课程推论“”知,棱柱外接球球心在中点,其中为中点,如图知,外接球半径,如图(3)知,截面半径,.法三:秒杀二由《网课》几秒杀公式与推论知,截面过四等分点,由“公式”知:由《网课》公式“12”知:,建立空间坐标系,,,,, ,.法四:设为上靠近的四等分点,则,平面即为平面,.取中点,则三棱柱外接球球心为中点,外接球半径,到平面的距离即为到的距离,截面面积.故应填:;.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)的横线上,并解答下列题目.在中,已知角的对边分别为,且,.(1)求;(2)若为边上一点,且,__________,求的面积.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)【解析】(1)由,得,由正弦定理得.因为,所以,所以,即.(2)选①,设,.因为,所以.由余弦定理得,解得.所以,所以的面积.选②,因为,所以. 由正弦定理得,解得,由余弦定理得,解得.所以,所以的面积.选③,因为,所以.由,解得,所以.由余弦定理得,解得.所以,所以的面积.18.(12分)若数列满足(,是不等于的常数)对任意恒成立,则称是周期为,周期公差为的“类周期等差数列”.已知在数列中,,.(1)求证:是周期为的“类周期等差数列”,并求的值;(2)若数列满足,求的前项和.【解析】(1)法一:由,,相减得,所以周期为,周期公差为的“类周期等差数列”,由,,得,所以. 法二:由,,相减得,所以是周期为,周期公差为的“类周期等差数列”,从而的奇数项和偶数项分别是公差为的等差数列,所以所以.(2)法一:由,,得,当为偶数时,;当为奇数时,.综上所述,法二:当为偶数时,;当为奇数时,.所以当为偶数时,;当为奇数时,.综上所述,19.(12分)年月国务院印发《全民健身计划》,《计划》中提出了各方面的主要任务,包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中,瑜伽逐渐成为一 种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在月份随机采访了名市民,对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计男性女性合计(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关?附:(2)为了推广全民健身,某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动,在全市范围内开设一期公益瑜伽课,先从上述参与调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人,再从人中随机抽取人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,补贴方案为:男性每人元,女性每人元.求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元)【解析】(1)由已知得.所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关.(2)调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人,其中男性人数为,女性人数为.记补贴金额为,则可能为,,. ,,,则的分布列为数学期望(元).20.(12分)如图,在四面体中,已知是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,为线段的中点,为线段的中点,为线段上的点.(1)若平面,求线段的长;(2)若二面角的大小为,求与平面所成角的大小.【解析】(1)因为面,面,面面,所以.又因为为线段的中点,所以为线段的中点,因为为线段的中点,且,所以. 因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形,所以.在直角中,.(2)法一:连接,因为在等边中,为的中点,所以.又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形,为线段的中点,所以,所以为二面角的平面角,所以.过点作,垂足为,连接.因为,,,面,所以面.又因为面,所以.又因为,面,所以面,所以为与面所成的角.因为,,所以,,因为,所以为线段的的中点.所以,且,所以,所以与面所成角的大小为.法二:连接.因为在等边中,为的中点,所以.又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形,为线段的中点.所以,所以为二面角的平面角,所以.以点为原点,所在的直线分别为轴,轴,过点且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系(如图), 则,,.因为,,,所以,所以,,所以,.设平面的法向量为,则即解得,取其中一个法向量为.因为,所以,设与平面所成的角为,则.又,所以,即与面所成角的大小为.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知点,,直线与 直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点为曲线上的任意一点(不含短轴端点),点,直线与直线交于点,直线与轴交于点,记直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.【解析】(1)法一:设,,,,,曲线的方程为.法二:设动点,由题意可得,所以曲线的方程为.(2)法一:设点设,直线方程为直线方程为:,方程为:在方程中令, 联立,,为定值.法二:设线设直线方程为,方程:,,,方程:令,为定值. 法三:设的直线方程为,联立方程组得,由,得,代入直线方程得,所以,所以的直线方程为,所以.联立方程组解得.所以,所以为定值.法四:设,则直线的方程为,联立方程组解得.由直线的方程为,得, 所以.又因为,所以为定值.22.(12分)已知函数.(1)判断的单调性,并说明理由;(2)若数列满足,,求证:对任意,.【解析】法一:巧妙推理(1)令,在上,,,在上单调递增.(2)由要证,只需证即证:,,, 先证左边:令证,即证令,,在上,,得证.再证右边:,即证,令,在上,,也得证.综上:对,,.法二:(1)显然定义域为.当时,记,,故在时为增.(2)令,只需证明恒成立和恒成立.因为若,则有①先证明,记记,,恒成立, 故,,故成立.②记,简记为,,,恒成立,故命题得证!(不想多取几个名字,就用二阶,三阶导数了.)法三:(1)的定义域是,.令,.因为,所以,所以在上单调递增,所以.又,,从而,所以在上单调递增.(2)设,.当时,,所以在上单调递增,所以,即,所以.由(1)可知,即,所以,即,从而.设,则. 当时,,所以,所以在上单调递增.故当时,,即,从而,即,即.因为,所以.综上,.
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发布时间:2022-03-17 10:34:04
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