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浙江省诸暨市2021-2022高三数学上学期期末考试试卷(Word版带解析)

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诸暨市2021-2022学年第一学期期末考试试题高三数学第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则()A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】利用集合交的定义及包含关系求解.【详解】因为,所以,得或,即或.故选:C.2.已知复数满足(为虚数单位),则在复平面内的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数除法得出,从而得出对应点的坐标后可得结论.【详解】∵,∴,则z在复平面内对应点的坐标为,∴z在复平面内对应的点在第一象限.故选:A.3.下列四个周期函数中,与其它三个函数周期不一致的函数是()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据各自的特点,分别求出函数的周期即可判断.【详解】对于A,,周期为;对于B,,周期为;对于C,,周期为;对于D,若周期为,则,,故的周期不是.故选:D4.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解两个不等式,即可得出结论.【详解】由可得,解得,由得,解得,所以,“”是“”的充分必要条件.故选:C.5.已知实数满足约束条件,则()A.有最小值,无最大值B.有最小值,也有最大值C.有最大值,无最小值D.无最大值,也无最小值【答案】A【解析】【分析】先画出不等式组表示的可行域,由,得,作出直线 ,根据直线在轴上的截距的最值,来判断目标函数是否能取到最值【详解】先画出不等式组表示的可行域,由,得,作出直线,向上平移过点时,直线在轴上的截距最小,则取得最小值,由于可行域向右无限延伸,所以无最大值,故选:A6.如图,圆、在第一象限,且与轴,直线均相切,则圆心、所在直线的方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为,则为锐角,由已知可得出,求出的值,即可得出直线的方程. 【详解】设直线倾斜角为,则为锐角,由已知可得,整理可得,因为,解得.因此,直线的方程为.故选:B.7.已知等比数列,首项为,公比为,前项和为,若数列是等比数列,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为,则,分、两种情况讨论,求出的表达式,结合已知条件可得出等式组,即可得解.【详解】设等比数列的公比为,则.若,则,由题意可得,即,所以,,解得,不合乎题意;若,则,则,由题意可得,即,所以,,可得.故选:B.8.如图正方体中,,,则下列说法不正确的是() A.时,平面平面B.时,平面平面C.面积最大时,D.面积最小时,【答案】D【解析】【分析】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,取线段的中点,求出平面的法向量,利用空间向量法可判断AB选项的正误;分析可知,求出关于的表达式,利用二次函数的基本性质可判断CD选项的正误.【详解】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、、、、、、、,,,所以,,,线段的中点为,,所以,, 设平面的法向量为,则,取,则.对于A选项,设平面的法向量为,,,则,取,可得,若平面平面,则,则,解得,A对;对于B选项,设平面的法向量为,,,则,取,可得,若平面平面,则,即,解得,B对;对于CD选项,,则,故,因为.因为,当时,取最小值,则的面积最小,D错, 当时,取最大值,则面积最大,C对.故选:D.9.已知是双曲线的左右焦点,为圆上一动点(纵坐标不为零),直线分别交两条渐近线于两点,则线段中点的轨迹为()A.平行直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【答案】A【解析】【分析】设点坐标为,依题设求线段中点的坐标可得解.【详解】设点坐标为,渐近线方程为:,直线:,直线:,当点在上方时,由,得,同理,,当点在下方时,, 所以线段中点纵坐标,所以中点轨迹平行直线.故选:A.10.已知,满足,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出,然后构造函数,求导后判断函数的单调性即可得答案.【详解】解:又若,则不满足条件,若、时,,不满足条件当、时,成立;又因为函数的图像恒在上方,设,,所以构造函数,,令,(),且在定义域内单调递增,故因此可知,所以在范围内单调递增,故选:D 第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二.填空题(本大题有7个小题,单空题每题4分,多空题每题6分,共36分)11.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的直角三角形,若,则小正方形的面积是________.【答案】1【解析】【分析】设出小正方形边长,用勾股定理列出方程,求出小正方形的边长和面积.【详解】设小正方形边长为,由勾股定理得:,解得:,故小正方形的面积为.故答案为:112.已知展开式各项系数和为,则______;常数项为______.【答案】①.5;②.5.【解析】【分析】空一:利用代入法进行求解即可;空二:利用通项公式进行求解即可.【详解】空一:令,得;空二:二项式的通项公式为:,令,即常数项为:,故答案为:5;5.13.已知函数,则______;若,则______. 【答案】①.1②.【解析】【分析】代入函数解析式,求出,进而求出,分类讨论求解.【详解】,则,当,即时,,,则,无解;当即时,,,则,解得:,符合要求;当时,,,所以,解得:,符合要求,综上:.故答案为:1,14.已知抛物线,过点作斜率为的直线交抛物线于两点,若以为直径的圆被轴,轴截得的弦长相等,则______.【答案】2【解析】【分析】求得直线方程为,与抛物线联立得,设,的中点为,求得点M的坐标,由已知得圆心到轴,轴的距离相等,建立方程求解即可.【详解】解:过点作斜率为的直线方程为,与抛物线联立得,,设,的中点为,则,所以,因为以为直径的圆被轴,轴截得的弦长相等,所以圆心到轴, 轴的距离相等,所以,解得(舍去),故答案为:2.15.体育馆内装篮球的箱子中有4个新篮球和2个用过的旧篮球,三名运动员各自从箱子中随机拿一个篮球进行投篮训练,结束后三个篮球放回箱子中,此时箱子中用过的旧篮球个数是一个随机变量,则______;随机变量的数学期望______.【答案】①.##②.4【解析】【分析】由于从箱子中任取3个球来用,用完后装回箱子,此时箱子中旧球的个数为4,可知增加了2个旧球,从而可得取出的3个球中有2个新球和1个旧球,进而可求出,由题意可得,求出对应的概率,从而可求出【详解】由题意可知当箱子中的旧球为4个时,则可得取出的3个球中有2个新球和1个旧球,所以,由题意可得,则,,所以,故答案为:,416.已知的三个角所对的边为,若,为边上一点,且,若,则面积的最大值为______;若,则的最小值为______. 【答案】①.②.【解析】【分析】由三角形面积公式,结合诱导公式和三角函数恒等变换,即可求解;设,则,则由可以推得,再利用面积公式可以解出,从而根据,可以推出,最后利用基本不等式即可得出结论.【详解】(1)设,则,由题意得,,由于,,所以,即,整理得,,又,所以,由得,,所以,由于, 所以,故,当,即时,,则的面积取得最大值为.(2)设,则,,,即,化简得,即,故,又,所以,即,,当且仅当时取等号,即的最小值为.故答案为:,.17.已知向量,,,则 ________.【答案】【解析】【分析】先通过数学归纳法证明出,然后代入式子中,利用裂项相消法进行求和计算.【详解】,,归纳出,,接下来用数学归纳法进行证明:当时,满足题意;假设当时,,则当时,,故,其中所以 故答案为:三、解答题(本大题有5个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)求函数的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简,即为,然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可;(2)利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简,即为,利用正弦函数的性质求值域即可.【小问1详解】∵∴,即所求单调递增区间为:;【小问2详解】 ,其中,即.19.在正项等比数列中,,是与的等差中项,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列前项和.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)设等比数列的公比为,则,根据已知条件可得出关于的方程,求出的值,利用等比数列的通项公式可求得的通项公式,利用前项和与通项的关系可求得数列的通项公式;(2)分析可知,当时,,当时,,化简的表达式,利用分组求和法可求得数列的前项和.【小问1详解】解:设等比数列的公比为,则,因为,所以(舍去),所以,当时,,则,当时,因为,①得,② ①②得:,所以,,也满足,所以,对任意的,.【小问2详解】解:令,则,所以,数列为单调递减数列,所以,,故当时,,则,此时,,且,当时,,则,此时,.综上所述,.20.如图,三棱台,平面平面,侧面是等腰梯形,,分别是的中点. (1)求证:平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质,结合线面平行的判定定理进行证明即可;(2)利用平行线的性质,结合线面垂直的判定定理、三棱锥等积性、线面角的定义进行求解即可.【小问1详解】证明:连接与交于点,连接,因为,所以由棱台的性质可知:,且,因为是的中点,因此,因此四边形是平行四边形,所以是的中点,又是的中点,所以,而平面,平面,所以平面; 【小问2详解】因为,所以与平面所成角即为所求角,取中点,连接,因为又因为,因为平面平面,平面平面,,所以平面,所以中,平行四边形中:平行四边形中:中:,所以到平面的距离,又因为,即; 21.如图,椭圆的离心率为,上的点到直线的最短距离为.(1)求椭圆的方程;(2)过上的动点向椭圆作两条切线、,交轴于,交轴于,交轴于,交轴于,记的面积为,的面积为,求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知条件求出、的值,即可得出所求椭圆的方程;(2)设、的方程分别为、,分析可知、是关于的的两根,利用韦达定理可得出关于的表达式,令,利用基本不等式可求得的最小值.【小问1详解】 解:由题意知:,所以,即所求椭圆方程为.【小问2详解】解:设、的方程分别为、,则,,,,,①联立,可得,,化简得,显然,、是关于的的两根.故,,则,即代入①式得,令,则,,当且仅当,即时,的最小值为.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 22.已知函数.(1)当时,求在处的切线方程;(2)若有两个极值点、,且.(ⅰ)求实数的取值范围;(ⅱ)求证:.【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出、的值,利用导数的几何意义可得出所求切线的方程;(2)(i)求得,利用导数分析函数的单调性,根据已知条件可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围;(ii)分析可知,,将所证不等式转化为证明,分、两种情况讨论,在时,利用不等式的基本性质可证得结论成立,在时,通过构造函数,并利用导数分析函数的单调性,结合不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】解:当时,,则,所以,,,因此,在处的切线方程为.【小问2详解】解:(i),令,则,令,则对任意的恒成立, 所以,函数上单调递增,因为,当时,,即,当时,,即,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,因为有两个极值点、,则,解得.(ii)令,,,由(i)可知,,只需证,即证:,当时,,得证;当时,先证:,令,,,当时,,当时,,则在上递增,在上递减,所以,得证,令,则,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,即,则,记与的交点横坐标分别为,, 则,,则,又,,【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-03-03 09:00:22 页数:24
价格:¥3 大小:1.65 MB
文章作者:随遇而安

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