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江苏省南京市、盐城市2022届高三数学上学期期末(一模)试卷(Word版带答案)
江苏省南京市、盐城市2022届高三数学上学期期末(一模)试卷(Word版带答案)
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2021~2022学年高三年级期末试卷数 学(满分:150分 考试时间:120分钟)2022.1一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={y|y=sinx,x∈R},N={y|y=2x,x∈R),则M∩N=( )A.[-1,+∞) B.[-1,0) C.[0,1] D.(0,1]2.在等比数列{an}中,公比为q.已知a1=1,则0<q<1是数列{an}单调递减的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某中学高三(1)班有50名学生,在一次高三模拟考试中,经统计得:数学成绩X~N(110,100),则估计该班数学得分大于120分的学生人数为( )(参考数据:P(|X-μ|<σ)≈0.68,P(|X-μ|<2σ)≈0.95)A.16 B.10 C.8 D.24.若f(α)=cosα+isinα(i为虚数单位),则[f(α)]2=( )A.f(α) B.f(2α) C.2f(α) D.f(α2)5.已知直线x+y+a=0与圆C:x2+(y-1)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=( )A.-4或2 B.-2或4 C.-1± D.-1±6.在平面直角坐标系xOy中,设A(1,0),B(3,4),向量=x+y,x+y=6,则||的最小值为( )A.1 B.2 C. D.27.已知α+β=(α>0,β>0),则tanα+tanβ的最小值为( )A. B.1 C.-2-2 D.-2+28.已知f(x)=则当x≥0时,f(2x)与f(x2)的大小关系是( )A.f(2x)≤f(x2) B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)=f(x2) D.不确定二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若函数f(x)=cos2x+sinx,则关于f(x)的性质说法正确的有( )A.偶函数 B.最小正周期为πC.既有最大值也有最小值 D.有无数个零点10.若椭圆C:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列b的值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )A.b= B.b= C.b=2 D.b= 11.若数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1,记在数列{an}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn,则( )A.P1= B.P2n<P2n+2C.P2n-1<P2n D.P2n-1+P2n<P2n+1+P2n+212.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=AD=CD=1,BC=PA=2.记四棱锥PABCD的外接球为球O,平面PAD与平面PBC的交线为l,BC的中点为E,则( )A.l∥BCB.AB⊥PCC.平面PDE⊥平面PADD.l被球O截得的弦长为1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若f(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函数,则m=________.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cosB的最小值是________.15.计算机是二十世纪最伟大的发明之一,被广泛地应用于人们的工作与生活之中,计算机在进行数的计算处理时,使用的是二进制,一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2,k∈N,则n=a0·2k+a1·2k-1+a2·2k-2+…+ak·20,其中a0=1,当i≥1时ai∈{0,1}.若记a0,a1,a2,…,ak中1的个数为f(n),则满足k=6,f(n)=3的n的个数为________.16.已知:若函数f(x),g(x)在R上可导,f(x)=g(x),则f′(x)=g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…,则a0=________,=________.(第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)从①sinD=sinA;②S△ABC=3S△BCD;③·=-4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.已知点D在△ABC内,cosA>cosD,AB=6,AC=BD=4,CD=2,若________,求△ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an=2n+4,数列{bn}的首项为b1=2.(1)若{bn}是公差为3的等差数列,求证:{abn}也是等差数列;(2)若{abn}是公比为2的等比数列,求数列{bn}的前n项和. 19.(本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现,某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据:年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y=bx+a,并估算该路口2022年不戴头盔的人数;(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人,分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系,得到下表,能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式和数据:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879 20.(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=13,AB=8,BC=6,AB⊥BC,AB1=B1C,D为AC中点,平面AB1C⊥平面ABC.(1)求证:B1D⊥平面ABC;(2)求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,虚轴长为,两准线间的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值. 22.(本小题满分12分)设函数f(x)=-3lnx+x3+ax2-2ax,a∈R.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)若x1,x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点,设P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)),记直线PQ的斜率为k,求证:k+2<x1+x2. 2021~2022学年高三年级期末试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.CD 10.ABC 11.AB 12.ABD13.-3 14. 15.15 16.1 17.解:若选①.∵cosA>cosD,A∈(0,π),D∈(0,π),∴A<D.又sinD=sinA,∴D+A=π,∴cosD=-cosA.(4分)设BC=x,在△ABC与△BCD中,由余弦定理得cosA==,cosD==,∴=-,(6分)解得x2=28,∴cosA==.(8分)∵A∈(0,π),∴A=,∴S△ABC=AB·ACsinA=×6×4×=6.(10分)若选②.∵S△ABC=3S△BCD,∴AB·ACsinA=3×DB·DCsinD.又AB=6,AC=BD=4,CD=2,∴×6×4sinA=3××4×2sinD,∴sinD=sinA.(2分)∵cosA>cosD,A∈(0,π),D∈(0,π),∴A<D.又sinD=sinA,∴D+A=π,∴cosD=-cosA.(4分)设BC=x,在△ABC与△BCD中由余弦定理得cosA==,cosD==,∴=-,(6分)解得x2=28,∴cosA==.(8分)∵A∈(0,π),∴A=,∴S△ABC=AB·ACsinA=×6×4×=6.(10分)若选③.在△BCD中,由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB×DC·cosD=DB2+DC2-2·=42+22-2×(-4)=28.(4分)在△ABC中,由余弦定理得cosA===.(8分) ∵A∈(0,π),∴A=,∴S△ABC=AB·ACsinA=×6×4×=6.(10分)18.(1)证明:∵{bn}是公差为3的等差数列,∴bn+1-bn=3.(2分)又an=2n+4,∴abn+1-abn=2(bn+1+4)-2(bn+4)=2(bn+1-bn)=6,∴{abn}是等差数列.(6分)注:写出bn=3n-1得2分.(2)解:∵{abn}是公比为2的等比数列,首项为ab1=a2=2×2+4=8,∴abn=8×2n-1=2n+2.(8分)又abn=2bn+4=2n+2,∴bn=2n+1-2,(10分)则数列{bn}的前n项和Sn=(22-2)+(23-2)+…+(2n+1-2)=(22+23+…+2n+1)-2n=2n+2-2n-4.(12分)19.解:(1)由表中数据知,x==,y==1050,所以b===-110,(2分)所以a=y-bx=1050-(-110)×=1325,故所求回归直线的方程为y=-110x+1325.(4分)令x=5,则y=-110×5+1325=775(人),故该路口2022年不戴头盔的人数约775人.(6分)(2)提出假设H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关.由表中数据得K2==4.6875>3.841.(9分)而P(K2≥3.841)=0.05,故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.(12分)20.(1)证明:∵AB1=B1C,D为AC中点,∴B1D⊥AC,(2分)∵平面AB1C⊥平面ABC,平面AB1C∩平面ABC=AC,B1D⊂平面AB1C,∴B1D⊥平面ABC.(5分)(2)解:(解法1:向量法)在平面ABC内过点D分别作AB,BC的平行线,交AB,BC于点E,F.由(1)知B1D⊥平面ABC,AB⊥BC,以{,,DB1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分) ∵AB=8,BC=6,∴AC=10,BD=5.∵AA1=BB1=13,∴B1D=12,得D(0,0,0),A(3,-4,0),B(3,4,0),C(-3,4,0),B1(0,0,12).设点C1(x,y,z),由=B1C1,得(-6,0,0)=(x,y,z-12),即点C1(-6,0,12),则=(-6,8,0),B1C=(-3,4,-12),C1D=(6,0,-12).设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),则得3x=4y,z=0.不妨取x=4,得平面AB1C的一个法向量为n=(4,3,0).(10分)设直线C1D与平面AB1C所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,C1D〉|===.(12分)(解法2:综合法)设B1C∩BC1=M,由BM=MC1知点C1到平面AB1C的距离d和点B到平面AB1C的距离相等.过点B作BH⊥AC,垂足为H,连接C1H(图略),∵BH⊥AC,平面AB1C⊥平面ABC,平面AB1C∩平面ABC=AC,BH⊂平面ABC,∴BH⊥平面AB1C,则BH为点B到平面AB1C的距离.(7分)在Rt△ABC中,易知d=BH==.(9分)由(1)知B1D⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,∴B1D⊥BC.∵B1C1∥BC,∴B1D⊥B1C1,则△B1DC1为直角三角形.∵AB=8,BC=6,AB⊥BC,∴AC=10,BD=5.∵AA1=BB1=13,∴B1D=12.∵B1C1=BC=6,∴C1D==6.(11分)设直线BC1与平面AB1C所成的角为θ,则sinθ===.(12分)(解法3)设B1C∩BC1=M,由BM=MC1知点C1到平面AB1C的距离d和点B到平面AB1C的距离相等.利用等积法VB1ABC=VBAB1C,求点B到平面AB1C的距离.下同解法2.21.解:(1)由虚轴长为知b=,(1分)由两准线间的距离为知=,(2分)平方得3a4=2c2=2(a2+b2)=2(a2+),解得a2=1,故双曲线方程为x2-2y2=1.(4分)(2)①若动直线l的斜率不存在,则设l:x=t,代入双曲线方程得P(t,),Q(t,-).由AP⊥AQ,得(t-1)2-=0,解得t=3或t=1(舍),此时点A到l的距离为d= 2;(6分)②若动直线l的斜率存在,则可设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l:y=kx+t,代入双曲线的方程,得(1-2k2)x2-4ktx-(2t2+1)=0,则x1+x2=,x1x2=-.(8分)由AP⊥AQ知(x1-1)(x2-1)+y1y2=0.由y=kx+t可知(x1-1)(x2-1)+(kx1+t)(kx2+t)=0,化简:得(1+k2)x1x2+(kt-1)(x1+x2)+t2+1=0,代入x1+x2=,x1x2=-,化简,得(3k+t)(k+t)=0.(10分)若k+t=0,则直线经过右顶点A,舍去;故3k+t=0,即直线经过定点M(3,0),(11分)则d≤AM=2.综上①②,d的最大值为2.(12分)注:也可建立d关于k的函数解析式来求最值,参照评分.22.解:(1)由f(x)=-3lnx+x3+ax2-2ax,得f′(x)=+3x2+2ax-2a,所以f′(1)=0.又f(1)=-3ln1+13+a·12-2a·1=1-a,所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=1-a.(3分)(2)由(1)得f′(x)=[3x2+(2a+3)x+3],因为x1,x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点,且不妨设x1>x2>0,所以x1+x2=-,x1x2=1,(5分)且需满足所以a<-,(6分)直线PQ的斜率为k==+x+1+x+a(x2+x1)-2a,(7分)先证:ln>(x1>x2>0).证明:令=u>1,不等式即证φ(u)=lnu->0,所以φ′(u)=-=>0,所以φ(u)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(t)>φ(1)=0,故不等式成立.(9分)所以k=+(x2+x1)2-2x1x2+1+a(x2+x1)-2a<+(x2+x1)2-1+a(x2+x1)-2a.令x1+x2=t,则a=-<-,所以t>2,则k<+t2-1-(t-2),所以k<-=(-t++1). 因为t>2,所以k<(-2++1)=t-2,故k+2<x1+x2.(12分)注:也可将k+2-(x1+x2)放缩后转化为a的函数.
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高中 - 数学
发布时间:2022-01-17 15:00:23
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