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天津市河东区2021-2022学年高二数学上学期期中质量检测试题(附答案)
天津市河东区2021-2022学年高二数学上学期期中质量检测试题(附答案)
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2021-2022学年天津市河东区高二(上)期中数学试卷一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线l:x+2y﹣3=0的一个方向向量为( )A.(2,﹣1)B.(2,1)C.(﹣1,2)D.(1,2)2.已知直线l的一个方向向量,且直线l过A(0,a,3)和B(﹣1,2,b)两点,则a+b=( )A.0B.1C.D.33.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为( )A.1B.﹣2C.1或﹣2D.4.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,可以作为空间向量一个基底的是( )A.,,B.,,C.,,D.,,5.已知点A(﹣2,1),B(0,﹣3),则以线段AB为直径的圆的方程为( )A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x﹣1)2+(y﹣1)2=20D.(x+1)2+(y+1)2=206.已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )A.相离B.相交C.外切D.内切7.已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a的值为( )A.±3B.±3C.±2D.8.已知向量=(3,1,2),=(﹣1,3,t),且与夹角的余弦值为,则t的取值可以是( )A.2B.﹣2C.4D.±29.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC线段上的点,且满足PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,则的坐标是( )A.(,0,)B.(,0,)C.(,,0)D.(,,0)二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.10.直线x﹣y﹣3=0的倾斜角为 .,11.两平行直线l1:6x+8y﹣4=0与l2:6x+8y﹣5=0之间的距离为 .12.若向量=(0,1,﹣1),=(1,1,0),则(﹣2)的值是 .13.若直线l:x﹣y﹣=0与圆C:x2+y2﹣4x+3=0相交于A,B两点,O是坐标原点,则△OAB的面积是 .14.已知直线l的方向向量为=(1,,﹣1),若点P(﹣1,1,﹣1)为直线l外一点,A(4,1,﹣2)为直线l上一点,则P到直线l上的距离为 .15.已知,,是空间三个不共面的向量,下列各组向量中不共面的是 .三.解答题:本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(6分)已知直线l:x﹣y+1=0,点A(﹣1,﹣2).(1)求过点A且与l垂直的直线方程;(2)求点A关于直线l的对称点A′的坐标.17.(6分)已知=(﹣2,3,5),=(4,1,a),=(6,b,﹣2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值;(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.18.(8分)已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2=0上,且与直线l:3x+4y﹣28=0相切于点P(4,4).(1)求圆C的方程;(2)求过点Q(6,﹣15)与圆C相切的直线方程.19.(10分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点(Ⅰ)证明:BC⊥平面CC1E;(Ⅱ)求二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值.20.(10分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3.M是AB,的中点,N是B1C1的中点,点P在线段A1N上,且A1P=A1N,Q是BC1与B1C的交点.(Ⅰ)求证:PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)在线段AA1上是否存在点S,使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为?请说明理由.2021-2022学年天津市河东区高二(上)期中数学试卷一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线l:x+2y﹣3=0的一个方向向量为( )A.(2,﹣1)B.(2,1)C.(﹣1,2)D.(1,2)【解析】根据直线l的斜率求解.解:由直线l:x+2y﹣3=0,可得直线的斜率k=﹣,故x+2y﹣3=0的一个方向向量为(2,﹣1),故选:A.本题考查直线的方向向量问题,是一道基础题.2.已知直线l的一个方向向量,且直线l过A(0,a,3)和B(﹣1,2,b)两点,则a+b=( )A.0B.1C.D.3【解析】先求出=(﹣1,2﹣a,b﹣3),由直线方向向量的定义列出方程,能求出a,b,由此能求出a+b的值.,解:∵直线l的一个方向向量,且直线l过A(0,a,3)和B(﹣1,2,b)两点,=(﹣1,2﹣a,b﹣3),∴,解得a=,b=,∴a+b==3.故选:D.本题考查两数和的求法,考查直线的方向向量等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为( )A.1B.﹣2C.1或﹣2D.【解析】由两直线平行的充要条件,列出方程求解即可.解:直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,可得,得:m=1,故选:A.本题主要考查两直线的位置关系.4.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,可以作为空间向量一个基底的是( )A.,,B.,,C.,,D.,,【解析】依次判断四个选项中的向量是否是共面向量,即可判断是否可以作为基底,从而得到答案.解:在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,向量,,是共面向量,不能作为基底,故选项A错误;向量,,是共面向量,不能作为基底,故选项B错误;向量,,不是共面向量,能作为基底,故选项C正确;向量,,是共面向量,不能作为基底,故选项D错误.,故选:C.本题考查了空间向量中基底的概念,要知道不共面的向量才可以作为空间向量的基底,考查了逻辑推理能力,属于基础题.5.已知点A(﹣2,1),B(0,﹣3),则以线段AB为直径的圆的方程为( )A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x﹣1)2+(y﹣1)2=20D.(x+1)2+(y+1)2=20【解析】先利用中点坐标公式求出圆心的坐标,再有两点间距离公式求出AB的长度,即可得到圆的半径,求出圆的标准方程即可.解:因为点A(﹣2,1),B(0,﹣3),故AB的中点即为圆心,则圆心坐标为(﹣1,﹣1),AB为圆的直径,根据两点间距离公式AB===2,故圆的半径为=,所以以线段AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=5.故选:B.本题考查了圆的标准方程的求解,两点间距离公式的运用,中点坐标公式的运用,求解圆的标准方程,关键是确定圆心和半径,属于基础题.6.已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )A.相离B.相交C.外切D.内切【解析】分别求出两圆的圆心坐标和半径大小,利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5,恰好等于两圆的半径之和,由此可得两圆相外切.解:∵x2+y2﹣6x﹣8y+9=0化成标准方程,得(x﹣3)2+(y﹣4)2=16,∴圆x2+y2﹣6x﹣8y+9=0的圆心为C1(3,4),半径r1=4.同理可得圆x2+y2=1的圆心为C2(0,0),半径r2=1.∵两圆的圆心距为|C1C2|==5,r1+r2=5,∴|C1C2|=r1+r2,可得两圆相外切.故选:C.本题给出两个定圆,求它们的位置关系,着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识,属于基础题.7.已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a,的值为( )A.±3B.±3C.±2D.【解析】由已知条件,设l:x﹣y﹣a=0,结合点到直线的距离公式,即可求解.解:∵直线l过点A(a,0)且斜率为1,∴设l:x﹣y﹣a=0,∵圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,∴圆心到直线的距离等于半径减去1,∴圆心(0,0)到直线l:y=x+a的距离为,解得.故选:D.本题主要考查直线与圆的位置关系,掌握点到直线的距离公式是解本题的关键,属于基础题.8.已知向量=(3,1,2),=(﹣1,3,t),且与夹角的余弦值为,则t的取值可以是( )A.2B.﹣2C.4D.±2【解析】利用空间向量夹角公式直接求解.解:∵向量=(3,1,2),=(﹣1,3,t),且与夹角的余弦值为,∴cos<>===,解得t=2.故选:A.本题考查实数值的求法,考查空间向量夹角公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC线段上的点,且满足PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,则的坐标是( )A.(,0,)B.(,0,)C.(,,0)D.(,,0)【解析】建立空间直角坐标系,然后利用向量的线性运算将用基底表示,从而得到向量的坐标.解:因为PA=AB=1,且PA⊥平面ABCD,且AD⊥AB,设=,=,=,,以{,,}为基底建立空间直角坐标系如图所示,因为M,N分别是AB,PC线段上的点,且PN=2NC,AM=2MB,则=++=﹣++=﹣++(﹣++)=+=+,所以=(,0,).故选:B.本题考查了空间向量的坐标表示,空间向量的线性运算,关键是掌握空间向量坐标的求法以及向量的加减法的运算,考查了逻辑推理能力与转化化归能力,属于基础题.二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.10.直线x﹣y﹣3=0的倾斜角为 .【解析】求得直线的斜率,由直线的斜率公式,可得所求倾斜角.解:直线x﹣y﹣3=0的斜率为k=,由k=tanα,其中倾斜角α≠,可得α=.故答案为:.本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,考查方程思想和运算能力,属于基础题.11.两平行直线l1:6x+8y﹣4=0与l2:6x+8y﹣5=0之间的距离为 .【解析】根据已知条件,结合平行直线之间的距离公式,即可求解.解:∵直线l1:6x+8y﹣4=0与l2:6x+8y﹣5=0平行,∴l1,l2之间的距离d=.,故答案为:.本题主要考查平行直线之间的距离公式,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.12.若向量=(0,1,﹣1),=(1,1,0),则(﹣2)的值是 0 .【解析】由已知求得﹣2的坐标,再由数量积的坐标运算求解.解:∵=(0,1,﹣1),=(1,1,0),∴﹣2=(0,1,﹣1)﹣(2,2,0)=(﹣2,﹣1,﹣1),则(﹣2)=(﹣2,﹣1,﹣1)•(0,1,﹣1)=﹣2×0﹣1×1﹣1×(﹣1)=0.故答案为:0.本题考查空间向量的数乘、减法及数量积运算,是基础题.13.若直线l:x﹣y﹣=0与圆C:x2+y2﹣4x+3=0相交于A,B两点,O是坐标原点,则△OAB的面积是 .【解析】根据已知条件,结合垂径定理和点到直线的距离公式,即可求解.解:由圆C:x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1,则圆心C(2,0),半径r=1,圆心C到直线l的距离d=,故|AB|==,又∵原点O到直线l的距离h=,∴=.故答案为:.本题主要考查垂径定理和点到直线的距离公式,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.14.已知直线l的方向向量为=(1,,﹣1),若点P(﹣1,1,﹣1)为直线l外一点,A(4,1,﹣2)为直线l上一点,则P到直线l上的距离为 .【解析】根据点P到直线l的距离为||•sin<,>,分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可求解.解:∵P(﹣1,1,﹣1),A(4,1,﹣2),,∴=(5,0,﹣1),又=(1,,﹣1),∴cos<,>==,∴sin<,>=,又∵||=,∴点P(﹣1,1,﹣1)到直线l的距离为:||sin<,>=×=,故答案为:.本题考查点到直线l的距离,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,是基础题.15.已知,,是空间三个不共面的向量,下列各组向量中不共面的是 ①③ .【解析】利用向量共面定理即可判断出结论.解:对于①,是空间三个不共面的向量,∴是不共面的向量,故①正确;对于②,假设存在实数s,t,使得,则s=3,2s+2t=0,3t=﹣9,解得:s=3,t=﹣3,因此+2,2+3,﹣9+3是共面向量,故②不正确.对于③,假设存在实数s,t,使得+2=s(+2)+t(+2)=2t+s+(2s+t),则2t=1,s=2,2s+t=0,无解,∴假设不成立,因此不共面,故③正确.故答案为:①③.本题考查了向量共面定理、方程组的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.三.解答题:本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(6分)已知直线l:x﹣y+1=0,点A(﹣1,﹣2).(1)求过点A且与l垂直的直线方程;(2)求点A关于直线l的对称点A′的坐标.【解析】(1)由直线l的方程可得其斜率,进而求出与之垂直的直线的斜率,再由点斜式,方程求出过点A与直线l垂直的直线的方程;(2)由题意可得直线l为线段AA'的中垂线方程,进而求出点A'的坐标.解:(1)由直线l:x﹣y+1=0,可得其斜率为1,所以可得与之垂直的直线的斜率﹣1,所以过点A与l垂直的直线方程为y+2=﹣1(x+1),即过点A且与l垂直的直线方程:x+y+3=0;(2)设A'的坐标(a,b),则直线l是线段AA'的中垂线,所以可得:,解得:,即A'的坐标(﹣3,0).本题考查求与已知直线垂直的直线的斜率及点斜式求直线的方程,求点关于直线的对称点的坐标,属于基础题.17.(6分)已知=(﹣2,3,5),=(4,1,a),=(6,b,﹣2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值;(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.【解析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到=,由此能求出a,b.(2)由已知求出==(8,b﹣3,﹣7),再由四边形ABCD的对角线互相垂直,得=0,由此能求出实数a,b满足的关系式.解:(1)∵=(﹣2,3,5),=(4,1,a),=(6,b,﹣2),四边形ABCD为平行四边形,∴=,∴(4,1,a)=(﹣2,3,5)+(6,b,﹣2)=(4,b+3,3),∴,解得a=3,b=﹣2.(2)∵=(﹣2,3,5),=(4,1,a),=(6,b,﹣2),∴==(8,b﹣3,﹣7),∵四边形ABCD的对角线互相垂直,,∴=(4,1,a)•(8,b﹣3,﹣7)=32+b﹣3﹣7a=0,∴b﹣7a+29=0.本题考查向量中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间向量的性质的合理运用.18.(8分)已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2=0上,且与直线l:3x+4y﹣28=0相切于点P(4,4).(1)求圆C的方程;(2)求过点Q(6,﹣15)与圆C相切的直线方程.【解析】(1)由圆的切线性质可知,过点P且与l垂直的直线过圆心,结合圆心在直线2x﹣y﹣2=0上,联立可解出圆心坐标,然后半径可求,即可得解;(2)根据直线和圆相切的等价条件即可求过点Q(6,﹣15)且与圆C相切的切线方程.解:(1)过点P(4,4)与直线l:3x+4y﹣28=0垂直的直线m的斜率为k=,所以直线m的方程为y﹣4=(x﹣4),即4x﹣3y﹣4=0.由,解得C(1,0).所以r==5.故圆C的方程为:(x﹣1)2+y2=25.(2)①若过点Q(6,﹣15)的直线斜率不存在,即直线是x=6,与圆相切,符合题意;②若过点Q(6,﹣15)的直线斜率存在,设直线方程为y+15=k(x﹣6),即kx﹣y﹣6k﹣15=0,若直线与圆C相切,则有=5解得k=﹣.此时直线的方程为﹣x﹣y﹣7=0,即4x+3y+21=0.综上,切线的方程为x=6或4x+3y+21=0.本题考查直线与圆的方程以及位置关系,关键是求出圆C的方程,属于中档题.19.(10分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点,(Ⅰ)证明:BC⊥平面CC1E;(Ⅱ)求二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值.【解析】(1)建系,证明,同时利用CC1⊥底面ABCD,得到BC⊥CC1,最后根据线面垂直的判定定理可得结果.(2)分别得到平面CEB1、平面CC1B1的一个法向量,然后根据空间向量的夹角公式计算即可.(1)证明:因为侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AB,A1A⊥AD,AB⊥AD,所以AD,AA1,AB两两互相垂直,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,B1(0,2,2),C1(1,2,1),C(1,0,1),E(0,1,0),B(0,0,2),,,,所以,所以,又CC1∥A1A,所以CC1⊥底面ABCD,,则BC⊥CC1,CE∩CC1=C,CE,CC1⊂平面CC1E,所以BC⊥平面CC1E,(2)解:,设平面CEB1的一个法向量为,设平面CC1B1的一个法向量为,所以,令y1=2,则x1=3,z1=﹣1,所以,,令x2=1,则z2=1,所以,所以,所以,所以二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值为.本题主要考查线面垂直的证明,二面角的余弦值的求解,空间向量的应用等知识,属于中等题.20.(10分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3.M是AB的中点,N是B1C1的中点,点P在线段A1N上,且A1P=A1N,Q是BC1与B1C的交点.(Ⅰ)求证:PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)在线段AA1上是否存在点S,使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为?请说明理由.,【解析】(Ⅰ)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面A1CM的法向量,由向量垂直的坐标表示证明,即可证明结论;(Ⅱ)假设线段AA1上存在点S,使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为,设AS=h(0≤h≤3),求出CS的方向向量,由线面角的向量公式列出方程,求解即可.(Ⅰ)证明:以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则A1(0,0,3),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,3),,所以,,故,所以,设平面A1CM的法向量为,则,即,令z=2,则x=3,y=6,故,所以,则,因为PQ⊄平面A1CM,故PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)解:假设线段AA1上存在点S,使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为,不妨设AS=h(0≤h≤3),,则S(0,0,h),故,所以=,故=,解得h=2,所以S为线段AA1上靠近A1的三等分点时,直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为.本题考查了空间向量在立体几何中的综合应用,向量法证明线面平行的应用,向量垂直的坐标表示,线面角的应用,在求解有关空间角问题的时候,一般会建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,属于中档题.
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高中 - 数学
发布时间:2021-12-16 08:43:59
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