江西省南昌市4校2021-2022学年高二数学（理）上学期期中联考试题（附答案）

南昌市4校2021-2022学年高二上学期期中联考理科数学试卷总分150分一、单选题(共60分，每题5分）1．将点的直角坐标化成极坐标得（）A．B．C．D．2．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．3.直线，与直线互相平行，则实数（）A．B．2C．D．2或4．曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等5．若直线l经过点，且点，到它的距离相等，则l的方程为（）A．B．C．或D．或6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）A．B．C．8D．137．已知圆的半径为，椭圆的左焦点为，若垂直于轴且经过点的直线与圆相切，则椭圆的长轴长为（）A．B．C．D．8．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A．y2＝6xB．y2＝xC．y2＝3xD．y2＝9x9．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且 ，则实数为（）A．2B．C．D．10．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．11．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（）A．B．C．D．12．椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上的一点，，且，垂足为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共20分，每题5分）13．若方程表示椭圆，则k的取值范围是________.14．已知实数、满足，则的最小值是______．15．如图，已知为等腰直角三角形，，光线从点出发，到上一点，经直线反射后到上一点，经反射后回到点，则点的坐标为_______.16．双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________. 三、解答题（其中17题10分，其余每题12分，共70分）17.(10分)曲线C的方程为，把曲线上所有点的横坐标变为原来的，再向上平移1个单位，得到曲线E，是曲线E上的动点，（1）求曲线E的方程.（2）求的取值范围18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线极坐标方程和曲线直角坐标方程；（2）极坐标系中，曲线上的两点，对应的极坐标分别为，，且，，求的面积．19．（12分）已知分别是双曲线C：的左、右焦点，点P是双曲线上一点，满足且．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l交双曲线于A，B两点，若的中点恰为点，求直线l的方程． 20.（12分）在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标.21．（12分）已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值．22.（12分）已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于M,N的任意一点，且满足直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为.（1）求曲线C的方程；（2）若曲线上点，经过曲线C右焦点的直线与曲线C交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证： 高二数学理科参考答案一、选择题题号123456789101112答案DCBDCBCACDAD二、填空题13．14．15．16．三、解答题17.（1）曲线C的方程:4分（2）令，并将其变形为．问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值问题，当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得，即10分18.（1）曲线：曲线：4分（2）由已知得的极坐标方程为当时，，因为，所以当时，，因为，故故故的面积为.12分19.（1），得，在△中，∴，，则，故双曲线的标准方程为：6分 （2）设，有，所以，又，，∴，得，∴直线方程为：，满足，符合题意.12分20.（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：，所以联立，得或，所以所求交点的极坐标为和.6分（2）直线的直角坐标方程为，“四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得，连接且与直线垂直且交于点，所以点与点M的距离的最小值为1.12分21．（1）抛物线的准线方程为，到焦点的距离为，．抛物线方程为．4分（2）设的方程为．联立方程组，得．设，，，，则，．．．时，取得最小值．12分 22.（1）椭圆的标准方程为．4分（2）证明：设，，直线，则．由消去得，所以，，所以，又因为，所以，命题得证．12分