江西省吉安市四校2021-2022学年高二数学（理）上学期期中考试试题（带答案）.doc

安福二中、泰和二中、井大附中、吉安县三中、四校联考高二数学（理）试题（11月1日、2日）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A.B.C.D.2.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.已知m，，若两条平行直线与之间的距离是，则（）A.0B.1C.-2D.-14.点关于直线的对称点为（）A.B.C.D.5.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为5，则其体对角线的长为（）A.4B.C.D.6.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（）A.B.C.D.7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（） A.B.C.D.8.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（）A.B.C.D.9.平面内与点距离为3，且与点距离为2的直线的条数为（）A.4B.3C.2D.110.已知两点，，若直线上至少存在三个点P，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.11.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且，其中E，M，N分别是，，的中点，动点P在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面；其中恒成立的为（）A.①③B.③④C.①④D.②③12.在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，4小题，共20分） 13.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是________.14.设是空间直角坐标系中的一点，则点关于坐标平面的对称点的坐标是________.15.已知直线与圆，则圆C上各点到l的距离的最小值为________.16.已知三棱锥中，棱，，的中点分别是M，N，O，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为________.三、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分）17.已知直线和直线.（1）当时，若，求实数a的值；（2）若，求的最小值.18.已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求顶点A和B的坐标；（2）求的外接圆的一般方程.19.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.（1）求四棱锥的体积；（2）如果E是的中点，求证：平面；（3）不论点E在侧棱的任何位置，是否都有?证明你的结论.20.在如图所示的几何体中，，平面，，，，. （1）证明：平面；（2）过点D作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.21.已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点.（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求.22.如图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.（1）证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面；（2）求图2中点A到平面的距离.理科数学试题答案及评分标准一、选择题（每题5分，12个小题，共60分）123456789101112BACBDACABDCB二、填空题（每题5分，4个小题，共20分） 13.14.15.16.三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分）17：（1）因为直线和直线，，所以，且，即，且.若，则，整理，得，解得.（2）若，当任一直线斜率不存在时，显然不成立，所以，所以，所以又因为，所以，当且仅当，即时等号成立所以，则的最小值为2.18.（1）由解得所以顶点.因为，，所以设直线的方程为，将代入，得.联立解得所以顶点，所以顶点A和B的坐标分别为和.（2）设的外接圆方程为，将，和三点的坐标分别代入，得解得所以的外接圆的一般方程为.19.（1）因为平面，所以， 即四棱锥的体积为（2）证明：如图所示，连接交于点O，连接.因为四边形是正方形，所以O是的中点，又E是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（3）不论点E在侧棱的任何位置，都有.证明如下：因为四边形是正方形，所以，因为底面，且平面，所以，又，所以平面.因为不论点E在侧棱的任何位置，都有平面，所以不论点E在侧棱的任何位置，都有.20.解析：（1）在中，由余弦定理得，所以，所以为直角三角形，.因为平面，所以.而，所以平面.（2）如图，取的中点，的中点，连接，，，则平面即所求.理由如下：因为，，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，易证平面. 因为，所以平面平面.由（1）可知，平面，平面.，，所以所求几何体的体积.21.（1）由题设，可知直线的方程为.因为直线l与圆C交于两点，所以.解得.所以k的取值范围为.（2）设，.将代入圆的方程，整理得.所以，..由题设可得，解得，所以l的方程为故圆C的圆心在l上，所以.22.解析：（1）证明：因为正方形中，，梯形中，，所以，所以D，E，C，G四点共面.因为，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以.在直角梯形中，，，，可求得， 同理在直角梯形中，可求得，又，所以，由勾股定理的逆定理可知因为，，所以平面.因为平面，故平面平面，即平面平面.（2）在等腰直角三角形中，边上的高为1，所以点D到平面的距离等于1.因为与平面平行，所以点E到平面的距离，连接，，三角形的面积，中，边上的高为高为，的面积.设点A到平面的距离为，由三棱锥的体积，得，故点A到平面的距离为.