2006-2007学年上海市卢湾区高二(上)期末数学试卷【附答案】
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2006-2007学年上海市卢湾区高二(上)期末数学试卷一、填空题(共40分,每小题4分))1.化简AB→-AC→+BC→=________.2.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直,则直线l的方向向量为________.3.设向量a→=(1,-2),b→=(-2,4),c→=(-1,-2),若向量a→,b→,c→,d→首尾相接能构成四边形,则向量d→=________.4.有一边长为1的正方形ABCD,AB→=a→,BC→=b→,AC→=c→,则|a→-b→+c→|=________.5.一根铁棒在20∘C时长10.4025米,在40∘C时长10.4050米.若铁棒长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示,则这根铁棒在25∘C时的长度为________米.6.抛物线y=8x2的焦点坐标为________.7.若点A(1, a)与原点在直线l:x+y-1=0的同侧,则实数a的取值范围为________.8.过椭圆x225+y29=1的中心的直线与椭圆交于A、B两点,F1是椭圆的右焦点,则△ABF1的面积的最大值为________.9.若双曲线C的两条渐近线的方程为y=±34x,则该双曲线方程可以为________.(只需写出一个满足题设的双曲线方程)10.下列四个命题;①直线x⋅cosθ-y+1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围为[π4,3π4];②直线l1:a1x+b1y+c1=0(a12+b12≠0)与直线l2:a2x+b2y+c2=0(a22+b22≠0),则|a1a2b1b2|=0是直线l1、l2平行的必要不充分条件;③圆C:x2+y2=r2及点P(x0, y0),若过点P作圆C的两条切线分别交圆C于A、B两点,则过AB的直线方程为xx0+yy0=r2;④方程x2t-1+y21-t=1不可能表示圆;其中正确命题的序号为________.二、选择题(共16分,每小题4分))11.若点P的坐标为(a, b),曲线C的方程为F(x, y)=0,则F(a, b)=0是点P在曲线C上的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.若a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)都是非零向量,且a→与b→垂直,则下列行列式的值为零的是()A.x1y1x2x2B.x1y1y2x2C.x1y1-x2y2D.x1y1-y2x213.若直线l是圆(x-1)2+(y+3)2=1的一个切线方程,则直线l的方程可以是()试卷第3页,总4页
A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=014.设F1,F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且PF1→⋅PF2→=0,则|PF1→|⋅|PF2→|的值等于()A.2B.22C.4D.8三、解答题(本大题共44分,第15、16、17题每题8分,第18、19题每题10分))15.已知直线l:2ax+ty+3a=0(t≠0, a∈R)经过点(1, -1),求直线l的倾斜角α(结果精确到1∘)16.设P是圆(x-1)2+y2=4上任意一点,过P作PQ⊥x轴,Q为垂足,求线段PQ的中点M的轨迹方程,并画出图形.17.定义:在直角坐标系中,若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3),则三角形ABC的面积可以表示为S△ABC=|12x1y11x2y21x3y31|.已知抛物线y2=4x,过抛物线焦点F斜率为43的直线l与抛物线交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)若P(3, 0),试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S.18.已知平面上三个向量a→,b→,c→的模均为1,它们相互之间的夹角均为120∘.(1)求证:(a→-b→)⊥c→;(2)若|ka→+b→+c→|>1 (k∈R),求k的取值范围.19.已知圆锥曲线C:x216+y2t2-2t=1(t≠0且t≠2),其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上.(1)试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线;(2)试在曲线C上求满足PF1→⋅PF2→=0的点P的个数,并求出相应的t的取值范围.试卷第3页,总4页
参考答案与试题解析2006-2007学年上海市卢湾区高二(上)期末数学试卷一、填空题(共40分,每小题4分)1.0→2.(2, 5)3.(2, 0)4.25.10.4031256.(0,132)7.(-∞, 0)8.129.x216-y29=1(答案不唯一)10.②③④二、选择题(共16分,每小题4分)11.C12.D13.C14.A三、解答题(本大题共44分,第15、16、17题每题8分,第18、19题每题10分)15.解:由直线l:2ax+ty+3a=0(t≠0, a∈R)经过点(1, -1),得2a-t+3a=0,所以t=5a,则l:2ax+5ay+3a=0,显然a≠0,所以直线l的斜率k=-25,即tanα=-25,得α=158∘.16.解:设M(x, y),则由中点坐标公式得P(x, 2y),因为P在圆(x-1)2+y2=4上,所以(x-1)2+4y2=4,整理得,(x-1)24+y2=1.图形如图,试卷第3页,总4页
17.解:(1)抛物线y2=4x中,p=2,p2=1,故抛物线的焦点的坐标为(1, 0),设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2 ),由题意有可得直线AB的方程为 y-0=43(x-1),即y=43(x-1),代入抛物线y2=4x的方程化简可得 y2-3x-4=0,∴y1=-1,y2=4,则x1=14,x2=4故A(4, 4)、B(14,-1);(2)由于不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3),则三角形ABC的面积可以表示为S△ABC=|12x1y11x2y21x3y31|又由A(4, 4)、B(14,-1),则四边形APBO的面积S=S△AOB+S△APB=|1244114-11001|+|1244114-11301|=152.18.解:(1)证明∵(a→-b→)⋅c→=a→⋅c→-b→⋅c→=|a→|⋅|c→|⋅cos120∘-|b→|⋅|c→|⋅cos120∘=0,∴(a→-b→)⊥c→.(2)解|ka→+b→+c→|>1⇔(ka→+b→+c→)2>1,即k2a→2+b→2+c→2+2ka→⋅b→+2ka→⋅c→+2b→⋅c→>1.∵|a→|=|b→|=|c→|=1,且a→,b→,c→相互之间的夹角均为120∘,∴a→2=b→2=c→2=1,a→⋅b→=b→⋅c→=a→⋅c→=-12,∴k2+1-2k>1,即k2-2k>0,∴k>2或k<0.19.解:(1)只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线,当t2-2t>0t2-2t<16,即t∈(1-17,0)∪(2,1+17)时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,当t2-2t<0即t∈(0, 2)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线.(2)满足PF1→⋅PF2→=0的P在以F1F2为直径的圆周上当t∈(0, 2)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,P有4个当t∈(1-17,0)∪(2,1+17)时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆此时a2=16,b2=t2-2t,c2=16-(t2-2t)若b<c,即t∈(-2, 0)∪(2, 4)时,P有4个若b=c,即t=-2或t=4时,P有2个若b>c,即t∈(1-17,-2)∪(4,1+17)时,P不存在.试卷第3页,总4页
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