吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
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吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共6页。考试结束后,将答题卡交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知全集,,,()A.B.C.D.2.已知向量,,若,则()A.2B.C.6D.3.已知l、m是两条不同的直线,是平面,,,则“”是“”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制( )A.683套B.954套C.972套D.997套5.设i是虚数单位,若zi+2=z,则=( )A.B.C.D.6.在中,,则的形状为()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )A.5B.6C.7D.88.函数的大致图象是()A.B.C.D.9.已知,,,则()A.B.C.D.10.已知球,过其球面上,,三点作截面,若点到该截面的距离是球半径的一半,且,,则球的表面积为()A.B.C.D.11.已知椭圆的左右焦点分别为,过的直线与C交于两点.若,,则C的离心率为()A.B.C.D.12.已知函数的定义域为,且函数的图象关于点对称,对于任意的,总有成立,当时,,函数(),对任意,存在,使得成立,则满足条件的实数构成的集合为()A.B.C.D.第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分。13.___________;14.已知实数满足约束条件,则的最大值为_______;15.已知函数,若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称,则的最小值为_____;16.刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为___________.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。(一)必考题:第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。17.(本题满分12分)设等差数列的公差为,,为的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(本题满分12分))很多新手拿到驾驶证后开车上路,如果不遵守交通规则,将会面临扣分的处罚,为让广大新手了解驾驶证扣分新规定,某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷(满分100分),发放给新手解答,从中随机抽取了12名新手的成绩,成绩以茎叶图表示如图所示,并规定成绩低于95分的为不合格,需要加强学习,成绩不低于95分的为合格.(1)求这12名新手的平均成绩与方差;(2)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,若从该市新手中任选4名参加座谈会,用X表示成绩合格的人数,求X的分布列与数学期望.
19.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,CD=2AB=4,AD=,△PAB为等腰直角三角形,PA=PB,平面PAB⊥底面ABCD,E为PD的中点.(1)求证:AE∥平面PBC;(2)求二面角A-EB-C的余弦值.20.(本题满分12分)已知函数().(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)函数在区间上满足,求a的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.,并求出该定点.(二)选考题:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于,两点.
(1)求直线的直角坐标方程,及曲线的普通方程;(2)若点,求的值.23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若存在实数,使得,求实数的取值范围.
数学试卷(理科)参考答案一、选择题123456789101112BACBDABDBACA二、填空题13.14.615..16.32三、解答题17.(1)(2)【详解】解:(1),为与的等比中项,,即,由,所以,∴数列的通项公式为.(2)由(1)得,,.18.(1)平均数92分,方差;(2)分布列见解析,数学期望为3.【详解】(1)这12名新手的成绩分别为68,72,88,95,95,96,96,97,98,99,100,100,则平均成绩为(68+72+88+95+95+96+96+97+98+99+100+100)÷12=92,其方差为[(92-68)2+(92-72)2+(92-88)2+2×(92-95)2+2×(92-96)2+(92-97)2+(92-98)2+(92-99)2+2×(92-100)2]=(242+202+42+2×32+2×42+52+62+72+2×82)=.(2)抽取的12名新手中,成绩低于95分的有3个,成绩不低于95分的有9个,故抽取的12名新手中合格的频率为=,故从该市新手中任选1名合格的概率为.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C0404=,P(X=1)=C1413==,P(X=2)=C2422==,P(X=3)=C3431==,P(X=4)=C4440=.所以X的分布列为X01234PE(X)=0×+1×+2×+3×+4×=3.19.(1)证明见解析;(2).【详解】(1)如图,取PC的中点F,连接EF,BF,∵PE=DE,PF=CF,∴EF∥CD,CD=2EF,∵AB∥CD,CD=2AB,∴AB∥EF,且EF=AB.∴四边形ABFE为平行四边形,∴AE∥BF.∵BF⊂平面PBC,AE平面PBC.故AE∥平面PBC.(2)取AB中点O,CD中点M,以O为原点,OM为x轴,AB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系:则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(1,2,0),P(0,0,1)D(1,-2,0),E,则,,,设平面ABE的一个法向量为,平面CBE的一个法向量为,则,令,则,
,,则,设与的夹角为,则,由二面角A-EB-C为钝角,则余弦值为.20.(1);(2)递减区间为,;递增区间为;(3).【详解】解:(1)若,则,,所以,即切线的斜率等于—2;又,切点为;所以曲线在点处的切线方程为,即;(2)的定义域为,(),当或时,,在和上单调递减;当时,,在单调递增;所以的递减区间为,;递增区间为;(3)①当,即时,在上单调递增,,解得,因此;②当,即时,在上单调递减,上单调递增,,解得,因此;③当时,定义域是,但在要有定义,故排除;④当,在上单调递减,,与矛盾,因此无解;综上所述,a的取值范围为.21.(1)+y2=1.(2)见解析
【解析】(1)∵等轴双曲线离心率为,∴椭圆C的离心率e=.∴e2==,∴a2=2b2.∵由x-y+=0与圆x2+y2=b2相切,得b=1,∴a2=2.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明①若直线AB的斜率不存在,设方程为x=x0,则点A(x0,y0),B(x0,-y0).由已知=4,得x0=-.此时AB方程为x=-.②若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.则x1+x2=-,x1x2=.由已知k1+k2=4,可得+=4,∴+=4,即2k+(m-1)=4,将x1+x2,x1x2代入得k-=2,∴k=2(m+1),∴m=-1.故直线AB的方程为y=kx+-1,即y=k-1.∴直线AB过定点.综上,直线AB过定点.22.(1);;(2)2.【详解】(1)由,得,将代入,所以直线的直角坐标方程为,
由,消去参数得,所以曲线的普通方程为.(2)显然点在直线:上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线可得,即,设,对应的参数分别为,,则,,∴.23.(1);(2).【详解】解:(1)①当时,,所以②当时,,所以③当时,,所以综上,不等式的解集为(2)原式即由绝对值三角不等式,,即,即
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