福建省福州市六校2021-2022高二数学上学期期中考试试卷（附答案）

2021—2022学年第一学期高二年段期中六校联考数学试卷（满分：150分完卷时间：120分钟）命题校福清三中班级姓名准考证号座号一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线与直线平行，则等于A．1B．2C．3D．42．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于A．5B．6C．7D．83.若直线：与：互相垂直，则的值为A.B.C.D.4．如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且OM=2MA，N是BC的中点，则A．B．C．D．5．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，则的欧拉线方程为A．B．C．D．高二数学第15页（共15页） 6.直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与NA所成的角的余弦值为A.B.C.D.7.点，点Q是圆上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是A.B.C.D.8.已知直线恒过点M，点N的坐标为，直线上有一动点P，当取得最小值时，点P的坐标为A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．直线可能是A．B．C．D．10．点在圆上，点在圆上，则A．的最小值为0B．两个圆心所在的直线斜率为C．的最大值为7D．两个圆相交弦所在直线的方程为11．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有A．△的周长为6B．△的最大面积为高二数学第15页（共15页） C．存在点使得D．的最大值为512．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是A．B．C．到平面的距离为D．直线与所成角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于____．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆过焦点的弦，则的周长是　　．15．已知圆心坐标为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为16.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（满分10分）三角形的三个顶点分别是，，．（1）求边所在的直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程；18.（满分12分）已知圆外有一点，过点作直线．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．高二数学第15页（共15页） 19.（满分12分）如图，四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，E是PC的中点．（1）证明：平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．20．（满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点作弦且弦被点平分，则此弦所在的直线方程．21．（满分12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，平面底面，为的中点．（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．22．（满分12分）已知椭圆过点M，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点P(0，3)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.高二数学第15页（共15页） 2021—2022学年第一学期高二年段期中六校联考数学试卷参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．D3．C4．A5．B6．C7．A8．B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AB10．11．12．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．1615．（写出也给满分）16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（满分10分）【答案】（1）；（2）；【详解】（1）由，．可得边所在的直线方程是：，即．……………………5分（2）因为边上的高垂直于，（1）由已知………6分高所在的直线方程斜率为……………………7分又边上的高过点，故所求直线方程为……………………9分故边上的高所在的直线方程是.……………………10分18.（满分12分）【答案】（1）或（2）．高二数学第15页（共15页） 【详解】解:(1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意……………………1分当斜率存在时，设直线的方程为,即……2分∴,解得…………………4分∴直线的方程为…………………5分∴直线的方程为或…………………6分(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为…………………8分圆心到直线的距离为…………………10分∴弦长为…………………12分19.（满分12分）【答案】（1）证明见详解；（2）【详解】（1）连接交于，连接∵底面正方形，∴为中点，又∵在中，是的中点，∴…………………2分又∵平面平面，∴在平面…………………4分（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图：，，，，………………5分，，，………………6分设平面BDE的法向量，则，即，令，则，，……………8分因为，，高二数学第15页（共15页） ，平面，平面，所以为平面的一个法向量，……………9分……………11分因为平面BDE与平面DEC的夹角为锐角，所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值.……………12分20.（满分12分）【答案】（1）椭圆标准方程为（2）【详解】解：（1），，……………2分所以，，，……………4分椭圆标准方程为，……………5分（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，，，则，则，……………6分将，，，分别代入椭圆的方程，两式相减可得，，……………9分，……………10分点为中点的弦所在直线方程为，……………11分整理，得：．……………12分21.（满分12分）【详解】（1）法一：取的中点连，∵，∴，又面面，面面，面，高二数学第15页（共15页） ∴面，……………1分又∵面，则，……………2分在正方形内，分别为的中点，∴，则有，又，∴，∴，，……………4分∴平面，又平面，∴．……………5分法二：取的中点连，∵，∴，又面面，面面，面，∴面，……………1分取的中点，连，则两两垂直，∴分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系．……………2分设，则，，，，∴，，……………4分则有，∴．……………5分（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知，，，，……………6分设，则，设面的法向量为，则，即，令，则．……………8分设直线与平面所成角的为，，……………9分∴整理得：，即．……………11分∴在上存在点，使得直线与平面成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等份点，即．……………12分22.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，高二数学第15页（共15页） 由得可转化为，………………2分由以上两式解得………………3分所以椭圆C的方程为：.………………4分（2）存在这样的直线.①当直线的斜率不存在时，显然不满足，………………5分②当直线的斜率存在时，设所求直线方程：联立整理得：①，②△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，……………….8分设所求直线与椭圆相交两点A，B，由已知条件可得③，……………….9分综合上述①②③式子可解得符合题意，……………….11分所以所求直线的方程为：.……………….12分高二数学第15页（共15页） 2021—2022学年第一学期高二年段期中六校联考数学试卷选择题、填空题答案的参考解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】B【详解】两直线平行，所以有,经检验，当=2，是符合条件。故选：B.2.【答案】D【详解】解：椭圆的焦点在轴上，，即，且，，，又焦距为4，，得．故选：D．3.【答案】C【详解】解：因为直线：与：互相垂直，所以，得，解得，故选：C4.【答案】A【详解】由题，在空间四边形，，，．点在上，且，是的中点，则．所以故选：A5．【答案】B【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.选B6.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出BM与NA所成的角的余弦值.高二数学第15页（共15页） 【详解】依题意可知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，设直线与所成角为，则.故选：C7.【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.8.【答案】B【详解】直线：，即，令，求得，，可得该直线恒过点直线：上有一动点，点的坐标为，故、都在直线：的上方．点关于直线：的对称点为，则直线方程为，即.把直线方程和直线：联立方程组，求得，高二数学第15页（共15页） 可得当取得最小值时，点的坐标为．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.【答案】AB【详解】因为a≠0，所以D错；当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；当a＜0时，＜0，不过第一象限，故C错，B对．故选：AB10.【答案】【详解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，圆心距，则的最小值为，最大值为，故错误，正确；对于，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，正确，对于，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，错误．故选：．11.【答案】【详解】解：根据题意可得，，，对于：△的周长为，故正确，对于：△的最大面积为，故正确，对于：若要存在点使得，则，即点在以为直径的圆上，且，所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，而椭圆的短轴一半长为，所以不存在点，故错误，对于，所以最大值为5，故正确，故选：．12.【答案】【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，高二数学第15页（共15页） 轴建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，对于选项，，则有，所以，故，所以选项正确；对于选项，，因为，所以，故，所以选项正确；对于选项，因为，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，所以，故到平面的距离为，故选项正确．对于选项，，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故选项错误；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】根据向量模长的计算公式代入求解即可.【详解】.14.【答案】16【详解】解：由已知椭圆方程可得，所以，又由椭圆的定义可得：高二数学第15页（共15页） 且，所以三角形的周长为，故答案为：16．15.【答案】（写出也给满分）【解析】因为切线的倾斜角为，切线的斜率为直线与圆C相切于点且圆心C，且直线CN与切线垂直，所以直线CN的斜率与切线的斜率乘积为，所以直线CN的斜率为即，解得，由题意得，圆的半径=2，所以圆C的方程为.故答案为：（写出也给满分）16.【答案】【解析】【分析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.【详解】由，解得根据二次函数的性质得出，即曲线可化为，所以该曲线表示圆心为，半径为半圆因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示当直线运动到时，过，代入得：当直线运动到时，此时与曲线相切则，解得或（舍）要使得直线与曲线有公共点，则高二数学第15页（共15页） 故答案为：高二数学第15页（共15页）