山东省潍坊第四中学2021-2022学年高二数学10月过程检测试题(含答案)
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潍坊第四中学2021—2022学年度高二过程性检测数学试题一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(-3,2,5),b=(1,m,3)若a⊥b,则常数m=()A.-6B.6C.-9D.92.若向量与向量共线,则()A.B.C.D.13.已知两条不同的直线和两个不同的平面,则:(1)若,则;(2)空间中,三点确定一个平面;(3)若,则;(4)若且,则.以上假命题的个数为()A.1B.2C.3D.44.正方体中,P,Q,R分别是AB、AD、的中点,那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()。A、三角形;B、四边形;C、五边形;D、六边形5.已知棱长为1的正方体中,,分别为,的中点;则异面直线与所成的角为()A.B.C.D.6.正方体中,直线与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.7.已知点,,,又点在平面内,则的值为()A.B.C.D.8.如图,三棱柱中,侧棱垂直于底面,底面三角形是正三角形,E是的中点.由以下论断:
①与是异面直线;②平面;③与为异面直线,且;④平面.则这些论断正确的序号是()A.③B.③④C.①②③D.②③④二.多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的的0分.9.若,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是()A.两条不重合直线,的方向向量分别是,,则B.两个不同的平面,的法向量分别是,,则C.直线的方向向量,平面的法向量是,则D.直线的方向向量,平面的法向量是,则11.如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足的是()A.B.
C.D.12.如图,在菱形中,,,将沿对角线翻折到位置,连结,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.与平面BCD所成的最大角为B.存在某个位置,使得C.当二面角的大小为时,D.存在某个位置,使得到平面的距离为三.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.在空间直角坐标系中,点在平面上的射影为点,在平面上的射影为点,则__________.14.如图,点为所在平面外一点,点为的中点,若与同时成立,则实数的值为______.15.如图,在正方体中,点为线段上的动点,分别为棱的中点,若平面,则_______.
16.在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,.若均在平面内,则与的位置关系是________,的最小值为________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,在空间四边形中,,点为的中点,设,,.(1)试用向量,,表示向量;(2)若,,,求的值.18.如图,已知直三棱柱,在底面中,,,棱,,分别是,的中点.(1)求的模;(2)求的值;(3)求证:.19.(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.20.(12分)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.21.(12分)在①平面平面,②,③平面这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.如图,在四棱锥中,底面是梯形,点在上,,,,,且______.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(12分)如图,几何体为圆柱的一半,四边形为圆柱的轴截面,点为圆弧上异于,的点,点为线段上的动点.
(1)求证:;(2)若,,,且直线与平面所成角的正弦值为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.2021—2022学年度高二过程性检测数学答案一.单选择(每个5分)1~5ABCDC6~8CBA二.多选题(每个5分,选不全得2分,选错得0分)9.ABC10.AB11.BC12.BC三.填空题(每个5分)13.14.15.16.平行四.解答题17.(10分)(1),
故∵点E为AD的中点,故。。。。。。。。。。。。。5分(2)由题意得故故。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分18.(12分)(1)如图,以点作为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.由题意得,,所以.(2)由题意得,,,,所以,,,,,
所以.(3)由题意得,,,,所以,所以,即.19.(12分)(1)证明:如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以OD∥AB1.因为AB1⊄平面BC1D,OD⊂平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D..。。。。。。。。。。5分(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),因此=(0,-2,2),=(2,0,2).所以cos〈,〉===,设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cosθ=,由于θ∈,故θ=.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分20.(12分)(1)因为AB=AD,O为BD中点,所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABD,因此AO⊥平面BCD,因为平面BCD,所以AO⊥CD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连EM因为AO⊥平面BCD,所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD,即EF⊥BC因为FM⊥BC,,所以BC⊥平面EFM,即BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角,因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21.(12分)方案一:选条件①.(1)∵平面平面,平面平面,平面,,∴平面.又,∴,,两两垂直.以A为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,∴,,.∵,,∴,.又,∴平面.又平面,∴平面平面.(2)由(1)可得平面的一个法向量为,又,设直线与平面所成角为,则.方案二:选条件②.(1)∵底面为梯形,,∴两腰,必相交.又,,,平面,∴平面.又,∴,,两两垂直.以A为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,∴,,.∵,,∴,.又,∴平面.又平面,∴平面平面.(2)由(1)可得平面的一个法向量为,又,设直线与平面所成角为,则.方案三:选条件③.(1)∵平面,平面,∴.又,,平面,,∴平面.又,∴,,两两垂直.以A为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,∴,,.∵,,∴,.又,∴平面.又平面,∴平面平面(2)由(1)可得平面的一个法向量为,又,设直线与平面所成角为,则.22.(12分)(1)证明:四边形是圆柱的轴截面,是圆柱底面圆的直径,,是圆柱的母线,平面,,又,平面,又平面,.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分(2),,,,,以为原点,以,及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系
,如图所示,则,0,,,1,,,0,,,0,,,1,,,1,,,,,,1,,,1,,设,,,则,,,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得,3,,,,直线与平面所成角的正弦值为,,解得,,3,,由(1)可知平面,,0,为平面的法向量,,,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
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