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第三章概率3.2均匀随机数的产生课时练习(附解析新人教A版必修3)
第三章概率3.2均匀随机数的产生课时练习(附解析新人教A版必修3)
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均匀随机数的产生 (20分钟 35分)1.设x1是[0,1]内的均匀随机数,x2是[-2,1]内的均匀随机数,则x1与x2的关系是( )A.x2=2x1-2 B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2D.x2=x1-2【解析】选B.注意到x2的区间长度是x1的区间长度的3倍,因此设x2=3x1+b(b是常数),再用两个区间中点的对应值,得当x1=时,x2=-,所以-=3×+b,得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.2.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],用计算器上的随机函数产生一个[-5,5]上的随机数x0,那么使f(x0)≤0的概率为( )A.0.1 B. C.0.3 D.0.4【解析】选C.用计算器产生的x0∈[-5,5],其区间长度为10.使f(x0)≤0,即-x0-2≤0,得-1≤x0≤2,其区间长度为3,所以使f(x0)≤0的概率为=0.3.3.如图,扇形AOB的半径为1,圆心角为90°,点C,D,E将弧AB等分成四份.连接OC,OD,OE,从图中所有扇形中随机取出一个,面积恰为的概率是( )A.B.C.D.【解析】选A.题图中共有10个不同的扇形,分别为扇形AOB,AOC,AOD,AOE,EOB,EOC,EOD,DOC,DOB,COB,其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为45°的扇形)共有3个(即扇形AOD,EOC,BOD),因此所求的概率等于.8 4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.现在上述图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为______. 【解析】设题图(3)中最小黑色三角形面积为S,由题图可知图(3)中最大三角形面积为16S,图(3)中,阴影部分的面积为9S,根据几何概型概率公式可得,图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为.答案:5.实数m是区间[0,6]上的随机数,则方程x2-mx+4=0有实根的概率是______. 【解析】由解得4≤m≤6,故所求的概率为P==.答案:6.用随机模拟方法求函数y=与x轴和直线x=1围成的图形的面积.【解析】如图所示,阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形,设阴影部分的面积为S.随机模拟的步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;(2)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x,y)的个数);(3)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值;(4)直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积为1,由几何概型概率的计算公式得,点落在阴影部分的概率为=S.则S=,即阴影部分面积的近似值为.8 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.要产生[-3,3]上的均匀随机数y,现有[0,1]上的均匀随机数x,则y可取为( )A.-3xB.3xC.6x-3D.-6x-3【解析】选C.方法一:利用伸缩和平移变换进行判断.方法二:由0≤x≤1,得-3≤6x-3≤3,故y可取6x-3.2.用随机模拟方法,近似计算由曲线y=x2及直线y=1所围成部分的面积S.利用计算机产生N组数,每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a1=RAND,b=RAND组成,然后对a1进行变换a=2(a1-0.5),由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足≤yi≤1(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得到的近似值为( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意,对a1进行变换a=2(a1-0.5),由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足≤yi≤1(i=1,2,…,N)的点数N1,所以由随机模拟方法可得到的近似值为.3.如图所示,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此木板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投,记事件A={投中大圆内},事件B={投中小圆与中圆形成的圆环内},事件C={投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组[-8,8]内的均匀随机数.8 (3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b2<36的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2+b2<16的点(a,b)的个数),投中木板的总次数N(即满足上述-8<a<8,-8<b<8的点(a,b)的个数).则概率P(A),P(B),P(C)的近似值分别是( )A.,,B.,,C.,,D.,,【解析】选A.P(A)的近似值为,P(B)的近似值为,P(C)的近似值为.4.在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也在区间内的概率为( )A.B.C.D.【解析】选B.将取出的两个数分别用(x,y)表示,则0≤x≤10,0≤y≤10,要求这两个数的平方和也在区间内,即要求0≤x2+y2≤10,故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10,0≤y≤10内的面积问题,如图所示:即由几何概型知识可得到概率为=.5.P为圆C1:x2+y2=9上任意一点,Q为圆C2:x2+y2=25上任意一点,PQ中点组成的区域为M,在C2内部任取一点,则该点落在区域M上的概率为( )A.B.C.D.【解析】选B.设Q(x0,y0),中点(x,y),则P(2x-x0,2y-y0),代入x2+y2=9,得(2x-x0)2+(2y-y0)2=9,化简得+=,故中点的轨迹是以8 为圆心,以为半径的圆,又因为点Q(x0,y0)在圆x2+y2=25上,所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带,即应有x2+y2=r2(1≤r≤4),所以在C2内部任取一点落在M内的概率为=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.由于计算器不能直接产生[a,b]上的均匀随机数,只能通过线性变换得到.如果x是[0,1]上的均匀随机数,则a+(b-a)x就是[a,b]上的均匀随机数,据此,[0,1]上的均匀随机数0.8对应于[3,5]上的均匀随机数为______. 【解析】因为x是[0,1]上的均匀随机数,则[a+(b-a)x]就是[a,b]上的均匀随机数,所以[0,1]上的均匀随机数0.8对应于[3,5]上的均匀随机数为3+(5-3)×0.8=4.6.答案:4.67.利用计算器在0~1上产生均匀随机数x,经过变换y=mx+2,使得x=时,对应的变换出的均匀随机数为4,则m的值为______. 【解析】当x=时,y=m×+2=4,解得m=3.答案:38.用计算机产生随机二元数组组成区域对每个二元数组(x,y),用计算机计算x2+y2的值,记“(x,y)满足x2+y2<1”为事件A,则事件A发生的概率为______. 【解析】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件对应的集合是Ω={(x,y)|-1<x<1,-2<y<2},它的面积是2×4=8,满足条件的事件对应的集合是{(x,y)|-1<x<1,-2<y<2,x2+y2<1},该集合对应的图形的面积是圆的内部,面积是π,所以根据几何概型的概率公式得到P=.答案:8 三、解答题(每小题10分,共20分)9.用随机模拟的方法估算边长是2的正方形内切圆的面积,并估计π的近似值.【解析】(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1,b1.(2)平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)×2,b=(b1-0.5)×2,得到两组[-1,1]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1(满足a2+b2≤1的点(a,b)的个数).(4)计算频率,即为点落在圆内的概率.(5)如图,设圆面积为S,则由几何概型概率公式得P=.所以≈,即S≈,即圆面积的近似值为.又因为S圆=πr2=π,所以π=S≈,即为圆周率π的近似值.10.现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖,用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率,阴影部分由直线6x-3y-4=0和x=1,y=-1围成.【解题指南】要确定飞镖落点位置,需要确定两个坐标x,y,可用两组均匀随机数来表示点的坐标.【解析】记事件A={飞镖落在阴影部分}.(1)用计算机或计算器产生两组0~1上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,x=2(x1-0.5),y=2(y1-0.5)得到两组上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1(满足6x-3y-4>0的点(x,y)的个数).(4)计算频率fn(A)=,即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.【一题多解】本题还可以采用以下方法,8 利用几何概型的公式:由于随机地投掷飞镖,飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的,且结果有无限多个,所以是几何概型.阴影部分的面积为S1=··=,又正方形的面积S=4.所以飞镖落在阴影部分的概率为P==.1.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种∠ACO为钝角,这种情况的边界是∠ACO=90°的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0<OC<1.第二种∠OAC为钝角,这种情况的边界是∠OAC=90°的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4<OC<5.综合两种情况,若△AOC为钝角三角形,则0<OC<1或4<OC<5.所以概率P==0.4.2.一个投针试验的模板如图所示,AB为半圆O的直径,点C在半圆上,且CA=CB.现向模板内任投一针,则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是______. 【解析】设半圆O的半径为r,则半圆O的面积S半圆=πr2,在△ABC中,AB=2r,CA=CB=r,所以S△ABC=·r·r=r2.据题意可知该概率模型是几何概型,8 所以所求的概率为P===.答案:3.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y=9-x2与x轴和y=x围成的图形)的面积.【解析】设事件A“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”(如图).(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;(2)经过伸缩平移变换,x=6(x1-0.5),y=9y1;(3)统计出试验总次数N和满足条件y<9-x2及y>x的点(x,y)的个数N1;(4)计算频率fn(A)=,即为概率P(A)的近似值.设阴影部分的面积为S,矩形的面积为9×6=54.由几何概率公式得P(A)=.所以,阴影部分面积的近似值为:S≈.8
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