2022年湖南高考理科数学试题和答案

2022年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若a＜0，＞1，则(D)A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C.0＜a＜1,b＞0D.0＜a＜1,b＜02．对于非0向时a,b,“a//b”的确良（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数y=sinx的图象向左平移0＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于（D）A．B．C.D.4．如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和,则[B]ABCD5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C49D286.已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为[B]ABCD7．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）11/11\nA．2B．3C.4D.58.设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则A．K的最大值为2B.K的最小值为2C．K的最大值为1D.K的最小值为1【D】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__10．在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答)11、若x∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为2.12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位50。14、在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为315、将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)(n+2)11/11\n三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：设由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，从而或，既或故或。17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。11/11\n解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）==，P（=1）=P（=2）==P（=2）=P（=1）==P（=3）=P（=0）==故的分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3，由此已知，·D，相互独立，且P（）-（，）=P（）+P（）=+=所以--,既，11/11\n故的分布列是12318.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I）证明平面平面（II）求直线和平面所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A所以DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。（2）解法1如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，ABDF又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故11/11\n平面ABC平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面ABC。连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=AA，不妨设AA=，则AB=2，DF=，DC=，CF=，AD==，DH==—，所以sinHAD==。即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)，B（，0，0），C（0，1，），D（，-，）。易知=(，1，0)，=(0，2，)，=(，-，）设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y，z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n·)===。11/11\n由此即知，直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。19.（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；当时，>0.在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳11/11\n由题设当x>2时，由①得化简得当时由①得化简得故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由②知.④当点P在上时，由③知⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k≤，或k≥，即k≤-2时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C上，此时由④知∣MF∣=6-∣NF∣=6-从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-）+（6-）=12-(+)由得则，11/11\n是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12-（+）=12-因为当当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AF与椭圆的另一交点为E所以。而点A，E都在上，且有（1）知若直线的斜率不存在，则==3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为21.（本小题满分13分）对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有则称数列为B-数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；11/11\n（1）设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：①数列是B-数列②数列不是B-数列B组：③数列是B-数列④数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列都是数列，证明：数列也是数列。解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因为所以即故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列次命题为假命题。事实上，设，易知数列是B-数列，但由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有即。于是11/11\n所以数列是B-数列。（III）若数列{}是数列，则存在正数，对任意的有注意到同理：记，则有因此+故数列是数列本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！11/11