2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题10 排列、组合、二项式定理

2022版高考数学3-2-1精品系列专题10排列、组合、二项式定理（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读考纲原文（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理　①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.考纲解读（1）标准中只是对理科有要求，对文科不做要求；但大纲版对文理科均作要求。（2）已删除：组合数的性质。【考点pk】名师考点透析考点一、计数原理例1电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有种，共有不同结果种。【名师点睛】.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。例2.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。1）从中任选人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？解：从型血的人中选人有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有31\n种不同的选法。（1）任选人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有种不同选法。（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有种不同的选法。【名师点睛】.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类的确定性与并列性。例3、某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分如图，现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种。（用数字作答）解法一：先排区，有种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：①相同元素不相邻。②两端元素不能相同，共有种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：①相同元素不能相邻。②两端元素必须相同，共有种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有种方法。解法二：先分类：五大类：第一类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第二类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第三类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第四类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第五类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。每一类中其栽法为（分步进行），答案共有种。【名师点睛】如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。考点二、排列组合例4、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.（1）解：捆绑法，=1440.点评：捆绑法应用于相邻问题.（2）解：插空法，=1440.点评：插空法应用于不相邻问题.（3）解：捆绑插空相结合，.点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.【名师点睛】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“31\n直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；例5、5个人排成一排.（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？（3）若甲乙两人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是；另一类是甲不站结尾，此时是，两类相加，结果为：3720.基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，=1200.基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.（3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，和其他4人全排列，=1200.【名师点睛】解排列组合题的基本方法：（1）优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2）排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。（3）分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。（4）分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。（5）插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。（6）捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。（7）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。考点三、二项式定理例6在的展开式中，含的项的系数是（A）-15（B）85（C）-120（D）274解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为【名师点睛】求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；例7已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.⑴求n;⑵求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解：(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以n为偶数，第6项即为中间项，∴，得n=10.31\n【名师点睛】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析1、2022年安徽理（7）的展开式的常数项是（）【解析】因为，所以要找原二项式展开式中的常数项，只要找展开式中的常数项和含项即可.通项公式【规律总结】二项式问题求解通法是利用通项整理出方程（组），或不等式（组）再求解，除此之外就是等价变形之后再利用，通项公式求解或直接运用二项式定理，可以更快更准确求解.2、2022年安徽理（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（）或或或或31\n【技巧点拨】本题其实是一个“陈题”，也就是我们在很多教辅上常见的“握手问题”，解题的关键是分析出少交换的2次，涉及几个人，恰当分类，再求解.3、2022年北京理6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。4、2022年福建理的展开式中的系数等于8，则实数_________。【解析】的展开项为，由题，当时，【点评】本题考查二项式定理的基本内容．主要考察学生运用通项公式求解问题的能力，正确定r是解决本题的前提．5、2022年广东理10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【解析】的展开式第项为令得，所以的系数为[点评]本题主要考查二项展开式定理及通项公式，易出错的地方是运算不准确.6、2022年湖南理13.(-)6的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）【解析】(-)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.7、2022年辽宁理(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B)3×(3！)3(C)(3！)4(D)9！【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有31\n种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为，答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。8、2022年全国卷（冀、桂、云、贵、甘、青、藏、内蒙古）理（11）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）种（B）种（C）种（D）种9、2022年全国卷（冀、桂、云、贵、甘、青、藏、内蒙古）文（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A240种B360种C480种D720种【解析】：由题意得，先把甲安排在其余的4个位置上，有种方法，剩余的元素则进行全排列，有种方法，共计种不同的方法，故选C.【点评】：本题主要考查了排列组合的问题的计算，利用特殊元素优先安排的原则，利用分步计数原理，得到结论.10、2022年全国卷（冀、桂、云、贵、甘、青、藏、内蒙古）文(13)的展开式中的系数为.【解析】：由题意得，二项式展开式的通项为，令时，所以，所以的系数为7.【点评】：本题主要考查了二项式定理中通项公式的运用，借助二项式的通项求解的系数问题.11、2022年全国卷（冀、桂、云、贵、甘、青、藏、内蒙古）理（15）若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。【解析】：由题意得，，则二项式展开式的通项公式为31\n12、2022年山东理（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A）232(B)252(C)472(D)484解析：,答案应选C。另解：.13、2022年陕西理8.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）（A）10种（B）15种（C）20种（D）30种【解析】某一个队获胜可以分成3中情况，得分3:0,4:1,5:2；方法数为【答案】C【点评】该题主要考察分类组合的实际应用，把握分类，正确运用组合是关键.14、2022年陕西理12.展开式中的系数为10，则实数的值为。【解析】【答案】1【点评】该题主要考查二项式定理及其性质.15、2022年上海理5．在的二项展开式中，常数项等于。【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.16、2022年四川1、的展开式中的系数是（）A、B、C、D、【解析】二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.31\n17、2022年四川文3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为A、101B、808C、1212D、2022【解析】N=[点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体.18、2022年四川文11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、28条B、32条C、36条D、48条以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.19、2022年四川理11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60条B、62条C、71条D、80条【解析】方程变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：（1）若b=-3，;（2）若b=3,31\n以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当b=-2,或2时，共有23条；当b=1时，共有16条.综上，共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.20、2022年天津理（5）在的二项展开式中，的系数为（A）10　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-4021、（2022年新课标（宁、吉、黑、晋、豫、新、海南）理2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有种种种种【解析】甲地由名教师和名学生：种选22、2022年浙江理6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种；4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D23、2022年重庆理的展开式中常数项为A.B.C.D.105【解析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决.因为的展开式的通项为令4-r=0得r=4，故常数项为[点评]考查二项展开式的应用，属容易题，所以复习中不宜进行过多、过深的延伸.24、2022年重庆文4.的展开式中的系数为A.-270B.-90C.90D.270【解析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决.因为的展开式的通项为31\n令r=3得的系数为[点评]考查二项展开式的应用，属容易题，复习中不宜进行过多、过深的延伸.11年高考试题及解析1、（全国文9、理7）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种2、（广东理7）．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20B．15C．12D．10【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.3、（北京理12）.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有__个(用数字作答)【解析】个数为。4、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=431\n由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）5、（陕西理4）、的展开式中的常数项是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选C6、（四川文13）.的展开式中的系数是（用数字作答）解析：的展开式中的系数是.7、（广东文10）.的展开式中，的系数是______(用数字作答).【解析】8、（山东理14）.若展开式的常数项为60，则常数的值为.【答案】4【解析】因为,所以r=2,常数项为60,解得.9、（全国文、理13）(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:.31\n10、（浙江理13）.若二项式的展开式中3的系数为，常数项为，若，则的值是.【解析】：令得则A令得则B，由又B=4A得则11、（课标卷理8）.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40（B）-20（C）20（D）40解析：因为展开式各项系数和为2所以取得：，二项式即为：，它的展开式的常数项为：点评：此题考查二项式定理、展开式的系数、系数和以及运算能力，正确的把握常数项的涞源和构成是解决问题的关键。12、（湖北文12、理11）.的展开式中含的项的系数为（结果用数值表示）解析：由令，解得r=2，故其系数为13、（福建理6）.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于A.80B.40C.20D.1031\n【解析】：，x2的系数等于故选B14、（天津理5）.的二项展开式中，的系数为（）A．　　　B．　　　C．　　　　D．【解析】因为,所以容易得C正确.15、（安徽理12）.设，则.16、（重庆文11）．的展开式中的系数是17、（重庆理4）.（其中且）的展开式中与的系数相等，则（A）6(B)7(C)8(D)9解析：的通项为，故与的系数分别为和，令他们相等，得：，解得7选B.2022年高考试题及解析1、（2022全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.2、（2022全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种(B)18种(C)36种(D)54种31\n【解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有3、（2022江西理数）6.展开式中不含项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.（2022重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A）30种（B）36种（C）42种（D）48种5、（2022重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法故共有1008种不同的排法6、（2022北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）（B）（C）（D）答案：A7、（2022四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则31\n1、3有三个位置可排，3＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个8、（2022天津理数）(10)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种9、（2022全国卷1文数）(5)的展开式的系数是(A)-6(B)-3(C)0(D)3【解析】，的系数是-12+6=-610、（2022全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种11、（2022全国卷1理数）(5)的展开式中x的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)412、（2022四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36（B）32（C）28（D）2431\n13、（2022湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A．B.C.D.14、（2022湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1515、（2022湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B.126C.90D.54【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确16、（2022浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.31\n17、（2022全国卷2理数）（14）若的展开式中的系数是，则．【答案】1【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.【解析】展开式中的系数是.18、（2022辽宁理数）（13）的展开式中的常数项为_________.【答案】-5【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法【解析】的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15=-519、（2022全国卷2文14）(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识∵，∴，∴20、（2022江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。【答案】1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：21、（2022四川理数）（13）的展开式中的第四项是.解析：T4＝答案：－22、（2022全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.(用数字作答)31\n【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.【解析2】:23、（2022四川文13）(x－)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝取r＝2得常数项为C42(－2)2＝2424、（2022湖北文数）11.在的展开中，的系数为______。25、（2022湖北理数）11、在（x+）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.26、（2022安徽卷理）的展开式中，的系数等于【解析】令，的系数【两年模拟】2022年模拟试题及答案【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】若的展开式中的系数为10，则实数的值为（）A．1B．－1C．2D．31\n【答案】C【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）A．18B．108C．216D．432【答案】D【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】展开式中的系数是（A）9（B）（C）（D）【答案】B【四川省宜宾市高中2022届高三调研】设，且，则下列命题不成立的是（A）（B）在的展开式中，若只有的系数最大，则=7.（C）（D）【答案】B【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】若则等于（）A．27B．28C．7D．8【答案】C【浙江省杭州第十四中学2022届高三12月月考】若的展开式中没有常数项，则n的一个可能值为(A)11(B)12(C)13(D)14【答案】A【甘肃省天水一中2022第一学期高三第四阶段考】现有5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A.480　B.240C.120D.96【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】二项式的展开式中常数项是()A．-28B．-7C．7D．-28【答案】C【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】从甲、乙、丙、丁、戌5名同学任选四名同学，参加接力赛，其中，甲不跑第一棒，乙、丙不跑相邻两棒，则不同的选排种数为31\n（A）48（B）56（C）60（D）68【答案】D【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】在的展开式中，各项系数的和是【答案】或【四川省南充高中2022届高三第一次月考理】有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有（）　A．18种　　　　B．24种　　　　C．36种　　　　D．48种【答案】C【四川省南充高中2022届高三第一次月考理】已知二项式的展开式中第4项为常数项，则_______【答案】5【四川省成都市双流中学2022届高三9月月考理】学校体育组新买颗同样篮球，颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班颗，则不同的发放方法共（）A．4种B．20种C．18种D．10种【答案】D【四川省成都市双流中学2022届高三9月月考理】若的展开式中的系数是的6倍，则【答案】11【四川省德阳市2022届高三第一次诊断理】六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有A．480B．720C．240D．360【答案】A【四川省德阳市2022届高三第一次诊断理】的展开式中按x的升幂排列的第2项等于。【答案】【安徽省六校教育研究会2022届高三联考】在的展开式中，的系数为　　　　．（用数字作答）【答案】【浙江省杭州第十四中学2022届高三12月月考】若将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．如果每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有．【甘肃省天水一中2022第一学期高三第四阶段考】在的展开式中，31\n的系数是15，则实数=【答案】【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】二项式的展开式中，常数项的值为.【答案】【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试理】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试理】已知，则的展开式中的常数项为【答案】【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】中的系数与常数项之差的绝对值为A、5B、3C、2D、0【答案】A【解析】常数项为，系数为，∴常数项与系数的差为5【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考理】的展开式中常数项为（）A、B、C、D、【答案】A【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测）在二项式（）的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A.32B.-32C.0D.1【答案】C【江西省2022届十所重点中学第二次联考】如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有　　　　　　（　　）A．10　　　　B．12C．13　　　　D．15【答案】C　31\n【安师大附中2022届高三第五次模拟】已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．66条B．72条C．74条D．78条【答案】B【湖北省武昌区2022高三元月调研】若则等于（）A．27B．28C．7D．8【江西省2022届十所重点中学第二次联考】的展开式的系数是【答案】－4【安师大附中2022届高三第五次模拟】展开式中的系数为(用数字作答).【答案】10【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考理】25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（）A、60种B、100种C、300种D、600种【答案】D【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】若的展开式中的常数项为，则实数。【答案】【四川省江油中学高2022届高三第一次学月考试】设的展开式中的各项系数之和为，而它的二项式系数之和为，则的值为()A．B.C．　　D．【答案】A【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】甲队有4名男生和2名女生，乙队有3名男生和2名女生.（Ⅰ）如果甲队选出的4人中既有男生又有女生，则有多少种选法？（Ⅱ）如果两队各选出4人参加辩论比赛，且两队各选出的4人中女生人数相同，则有多少种选法？解：（Ⅰ）甲队选出的4人中既有男生又有女生，则选法为…（6分）（或种）……（6分）（Ⅱ）两队各选出的4人中女生人数相同，则选法为31\n种…（12分）2022年模拟试题及答案1．（2022北京丰台区期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（B）A．24种B．48种C．96种D．120种2.（2022北京西城区期末）在的展开式中，的系数为____80_.3、（2022巢湖一检）二项式的展开式中的第六项系数是（用数字作答）．4.(2022承德期末)某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一部门，则不同的分配方案共有（A）A．36种B．38种C．108种D．24种5．(2022东莞期末)已知的展开式中所有系数的和为128，则展开式中的系数是(C)A.63B.81C.21D.-216、（2022佛山一检）如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则=8，展开式中的常数项的值等于70.7．（2022福州期末）在二项式的展开式中，纱数是-10，则实数的值为1。8．（2022广东广雅中学期末）在的展开式中，含项的系数是5　．（用数字作答）9.（2022广州调研）展开式的常数项是.（结果用数值作答）10．（2022杭州质检）由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（A）A．36B．3211．（2022杭州质检）已知多项式，则a-b=2．12．（2022·湖北重点中学二联）某商场有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（C）A．4B．5C．6D．713．（2022·湖北重点中学二联）有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（D）31\nA．42B．48C．54D．6014.(2022·黄冈期末)若展开式中各项二项式系数之和为，展开式中各项系数之和为，则=（ B ）A.           B.             C.           D.15.(2022·黄冈期末)由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（ D）   A.720个            B.684个          C.648个           D.744个16.(2022·惠州三调)在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为1．17、(2022·锦州期末)从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球（），共有种取法，在这种取法中，可以分为两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出的m个球中有1个黑球，共有种取法，即有等式：成立.试根据上述思想化简下列式子：__________________.18．（2022·九江七校二月联考）安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出场，则不同的安排方法种数是(C)A．120B．240C．480D．72019．（2022·九江七校二月联考）在二项式的项的系数是1020．（2022·三明三校二月联考）已知的最小值为n，则二项式展开式中常数项是(B）A．第10项B．第9项C．第8项D．第7项21．(2022·汕头期末)设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是()31\nA．192B．182C．-192D．-18222．(2022·汕头期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONEWORLDONEDREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为．解：四张卡片排成一排一共有12种不同排法，其中只有一种会受奖励，故孩子受奖励的概率为。23、（2022·上海长宁区高三期末）若的二项展开式中的第5项的系数是280（用数字表示）。24、（2022温州十校高三期末）展开式中的系数为10，则实数等于（C）（A）（B）（C）2（D）125.(2022承德期末)展开式中的常数项是6.【一年原创】1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【答案】C【解析】甲、乙两名同学只有一人参加时，有CCA=480；2）甲、乙两人均参加时，有CAA=120。共有600种，选C。2．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）31\nA．B．16C．24D．32【答案】C【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A．1260B．2025C．2520D．5040【答案】C【解析】C·C·A=2520.4一排七个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少有一个空位，则不同的坐法种数是（）A．30B．28C．42D．165设集合A={0,2,4}、B={1,3,5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有（）A．24个B．48个C．64个D．116个【答案】C【解析】(1)只含0不含5的有：CCA=12；(2)只含5不含0的有：CCA=12；(3)含有0和5的有：①0在个位时，有CCA=24；②5在个位时，有CCAA=16。共有12+12+24+16=64。选C。6从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从中取一个数字，从中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中去掉首数字为的即满足题意，因此为所求7身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种8．31\n某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（）A．72种B．54种C．36种D．18种【答案】B【解析】将四名同学分成三组：1，1，2，安排在三个数学班中：有A=36；２）分成两组2,2。安排在两个班里，有A=18。故一共有36＋18＝54种安排方案。9的展开式中的系数为（）A．360B．180C．179D．35910．设展开后为，那么（）A．20B．200C．55D．180【答案】B【解析】依题意，Tr+1=C错误！未定义书签。(2x)10-x，所以a1=10×2=20,a2=45×4=180,所以200，选择B；11二项式（2－）6的展开式中，常数项是（）A．20B．－160C．160D．－20【答案】B【解析】设=为常数项，则=0，，所以常数项为－160．12设m、n是正整数，整式=（1－2x）+（1－5x）中含x的一次项的系数为－16，则含x项的系数是（）A．－13B．6C．79D．3731\n13的展开式中各项的二项式系数之和为()A.256B.128C.1D.0【答案】A【解析】注意区分二项式系数和项的系数之间的区别．14（x+1）（x－2）=a+a(x－1)+a(x－1)+a(x－1)+…+a(x－1),则a+a+a+…+a的值为（）A．0B．2C．255D．－215．若，且，则（）A.０　B.１　C.　　D.【答案】C【解析】由=56，知，利用赋值法得C．【考点预测】2022高考预测排列、组合、二项定理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。预测明年仍以考查排列、组合应用题、通项、二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合。复习建议31\n⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.二项定理问题的处理方法和技巧⑴运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1=Can－rbr，注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.⑵对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1.⑷有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.31\n⑺用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【母题特供】母题一：金题引路：有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能．（用数字作答）母题二：金题引路：如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有＿＿种.母题三：金题引路：已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．解：－1或6项的系数为母题四：金题引路：有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种31\n母题五、金题引路：．【解析】在二项展开式中=．令，得，即．31