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高中数学课时作业16数学归纳法(附解析新人教A版选修2-2)

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数学归纳法(建议用时:40分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证(  )A.n=1    B.n=2C.n=3D.n=4C [由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.]2.设Sk=+++…+,则Sk+1为(  )A.Sk+B.Sk++C.Sk+-D.Sk+-C [因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=++…+,①得Sk+1=++…+++.②由②-①,得Sk+1-Sk=+-=-,故Sk+1=Sk+-.]3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(  )A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项D [当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为=,并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.]4.对于不等式<n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,5 =<==(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,上述证法(  )A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确D [n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.]5.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则(  )A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对B [由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时命题成立,故对所有的正偶数都成立.]二、填空题6.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步验证的表达式为________.21+1≥12+1+2 [当n=1时,左边≥右边,不等式成立,∵n∈N*,∴第一步的验证为n=1的情形.]7.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是________.2k+2 [当n=k时,左端为:(1+1)(2+2)…(k+k),当n=k+1时,左端为:(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),由k到k+1需添加的因式为:(2k+2).]8.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为________.an= [a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.]5 三、解答题9.(1)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).(2)求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n·(2n+1)(n∈N*).[证明] (1)①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·=(-1)k·.∴当n=k+1时,等式也成立,根据①、②可知,对于任何n∈N*等式成立.(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.由①②得,等式对任何n∈N*都成立.10.已知{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.[解] (1)f2(x)=f1[f1(x)]==,5 f3(x)=f1[f2(x)]==,猜想:fn(x)=(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明,fn(x)=(n∈N*).①当n=1时,f1(x)=,显然成立;②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]==,即对n=k+1时,猜想也成立;结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.1.利用数学归纳法证明+++…+<1(n∈N*,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是(  )A.增加了这一项B.增加了和两项C.增加了和两项,同时减少了这一项D.以上都不对C [不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+++…+;当n=k+1时,左端为+++…+++,对比两式,可得结论.]2.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(  )A.当n=6时,该命题不成立B.当n=6时,该命题成立5 C.当n=4时,该命题不成立D.当n=4时,该命题成立C [若n=4时,该命题成立,由条件可推得n=5命题成立.它的逆否命题为:若n=5不成立,则n=4时该命题也不成立.]3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.π [由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.]4.对任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=________.5 [当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5;当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.]5.是否存在a,b,c使等式+++…+=对一切n∈N*都成立,若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.[解] 取n=1,2,3可得解得:a=,b=,c=.下面用数学归纳法证明+++…+==.即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②知当n∈N*等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立.5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 14:00:03 页数:5
价格:¥3 大小:67.00 KB
文章作者:随遇而安

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