【世纪金榜】2022届高考数学总复习 课时提升作业(四十一) 7.4直线、平面平行的判定及其性质 文 新人教A版

课时提升作业(四十一)直线、平面平行的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·揭阳模拟)设平面α,β,直线a,b,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为“a∥β,b∥β”若a∥b,则α与β不一定平行,反之若“α∥β”,则一定有“a∥β,b∥β”,故选B.2.在空间中,下列命题正确的是(　　)A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解析】选C.A中两直线的射影可能是两个点,所以A错;一个平面上的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错;若两个平面垂直同一个平面,则这两个平面可以平行,也可以相交,故D错;只有选项C正确.3.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是(　　)A.①②　　　B.①④　　　C.②③　　　D.③④【解析】选A.由线面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.4.(2022·成都模拟)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则(　　)A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形-7-\nB.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形【解题提示】先由条件得EFBD,再证得EF∥平面BCD,进而判断EFGH形状.【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.5.(2022·杭州模拟)已知a,b表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列命题正确的是(　　)A.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bB.若a∥b,a⊂α,b⊂β,则α∥βC.若a∥b,α∩β=a,则b∥α或b∥βD.若直线a与b异面,a⊂α,b⊂β,则α∥β【解析】选C.A:a与b还可能相交或异面,此时a与b不平行,故A不正确;B:α与β可能相交,此时设α∩β=m,则a∥m,b∥m,故B不正确;D:α与β可能相交,如图所示,故D不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中正确的是　　　　(只填序号).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.【解析】由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1∥BC1,故①正确;根据线面平行与面面平行的判定定理可知,②④正确;AD1与DC1是异面直线,故③错.答案:①②④7.(2022·日照模拟)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　.【解析】如图,连接AC,易知MN∥平面ABCD,所以MN∥PQ.因为MN∥AC,所以PQ∥AC.又因为AP=,所以===,所以PQ=AC=·a=a.-7-\n答案:a8.(2022·北京模拟)设α,β,γ是三个不同平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且　　　　,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是　　　　(把所有正确的题号填上).【解题提示】逐个命题进行验证,从中作出判断.【解析】①可以,由a∥γ得a与γ没有公共点,由b⊂β,α∩β=a,b⊂γ知,a,b在面β内,且没有公共点,故平行.②a∥γ,b∥β,不可以.举出反例如下:使β∥γ,b⊂γ,a⊂β,则此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系.③b∥β,a⊂γ,可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b无公共点,再由a⊂γ,b⊂γ,可得两直线平行.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QB∥PA.因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.又因为D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,D1B,QB⊂平面D1BQ,所以平面D1BQ∥平面PAO.10.(2022·天津模拟)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形,AA1=2,BD⊥A1A,∠BAD=∠A1AC=60°,点M是棱AA1的中点.(1)求证:A1C∥平面BMD.(2)求点C1到平面BDD1B1的距离.【解题提示】(1)连接MO,证明MO∥A1C进而证明A1C∥平面BMD.(2)通过转换顶点,利用“等积法”求点C1到平面BDD1B1的距离.【解析】(1)连接MO,-7-\n(2)设过C1作C1H⊥平面BDD1B1于H,则C1H为所求,又BD⊥AA1,BD⊥AC得BD⊥面A1AC.于是BD⊥A1O,又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O=3,⇔·A1O·×2×=·C1H·×2×2⇒C1H=.(20分钟　40分)1.(5分)(2022·长沙模拟)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(　　)A.　　　B.C.D.[,]【解析】选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为A1M=A1N==,MN==,所以当点P位于M,N时,A1P最大,当P位于MN中点O时,A1P最小,此时A1O==,所以≤A1P≤,所以线段A1P长度的取值范围是.-7-\n2.(5分)(2022·厦门模拟)设α,β是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给出下列条件:①α,β都平行于直线a,b;②a,b是α内的两条直线,且a∥β,b∥β;③a与b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.其中可判定α∥β的条件是　　　　.(填序号)【解析】对于①,满足条件的α,β可能相交;对于②,当a∥b时,α与β可能相交;③设a,b确定平面γ,则α∥γ,β∥γ,则α∥β.答案:③3.(5分)如图所示,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为　　　　.【解析】设BC1∩B1C=O,连接OD,因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,所以A1B∥OD,因为四边形BCC1B1是菱形,所以O为BC1的中点,所以D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=1.答案:14.(12分)(2022·珠海模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:-7-\n(1)直线EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【解题提示】(1)题目中中点较多,可利用中位线证明平行.(2)在(1)的基础上证明△EFG的两条边与平面BDD1B1平行.【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.5.(13分)(能力挑战题)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG.(2)求三棱锥P-EFG的体积.【解析】(1)方法一:如图,取AD的中点H,连接GH,FH,因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.因为G,H分别为BC,AD的中点,所以GH∥CD.所以EF∥GH.所以E,F,H,G四点共面.因为F,H分别为DP,DA的中点,所以PA∥FH.因为PA⊄平面EFG,FH⊂平面EFG,所以PA∥平面EFG.方法二:因为E,F,G分别为PC,PD,BC的中点,所以EF∥CD,EG∥PB.因为CD∥AB,所以EF∥AB.因为PB∩AB=B,EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面PAB.因为PA⊂平面PAB,所以PA∥平面EFG.(2)因为PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,所以GC⊥PD.因为ABCD为正方形,所以GC⊥CD.因为PD∩CD=D,所以GC⊥平面PCD.-7-\n因为PF=PD=1,EF=CD=1,所以S△PEF=EF×PF=.因为GC=BC=1,所以VP-EFG=VG-PEF=S△PEF·GC=××1=.【方法技巧】证明线、面平行的技巧(1)若在待证平面内与直线平行的直线易找或作(一般用中点连接)时,用判定定理证明.(2)若在待证平面内不易寻找到与直线平行的直线时,则过该线,找或作一平面,证明其与该平面平行,进而证得线面平行.-7-