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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第七篇 第1讲 不等关系与不等式 理 湘教版
【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第七篇 第1讲 不等关系与不等式 理 湘教版
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第七篇不等式第1讲不等关系与不等式A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·浙江)若a,b为实数,则“0<ab<1”是“a<或b>”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0<ab<1时,若b>0,则有a<;若b<0,则a<0,从而有b>.故“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件.反之,取b=1,a=-2,则有a<或b>,但ab<0.故选A. 答案 A2.(2022·保定模拟)已知a>b,则下列不等式成立的是( ).A.a2-b2≥0B.ac>bcC.|a|>|b|D.2a>2b解析 A中,若a=-1,b=-2,则a2-b2≥0不成立;当c=0时,B不成立;当0>a>b时,C不成立;由a>b知2a>2b成立,故选D.答案 D3.(2022·武隆模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得<,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C.答案 C6\n4.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( ).A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<0解析 由题意知c<0,a>0,则A一定正确;B一定正确;D一定正确;当b=0时C不正确.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.解析 由-<α<,-<-β<,α<β得-π<α-β<0.答案 (-π,0)6.(2022·南昌一模)现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2;③+>+.其中恒成立的不等式共有________个.解析 因为a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为(+)2-(+)2=2-2>0,且+>0,+>0,所以+>+,即③恒成立.答案 2三、解答题(共25分)7.(12分)设0<x<1,a>0且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.解 法一 当a>1时,由0<x<1知,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0,∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2),∵0<1-x2<1,∴loga(1-x2)<0,从而-loga(1-x2)>0,故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.当0<a<1时,同样可得|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.法二 平方作差|loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2=[loga(1-x)]2-[loga(1+x)]2=loga(1-x2)·loga=loga(1-x2)·loga>0.∴|loga(1-x)|2>|loga(1+x)|2,6\n故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.法三 作商比较∵==|log(1+x)(1-x)|,∵0<x<1,∴log(1+x)(1-x)<0,故=-log(1+x)(1-x)=log(1+x)=1+log(1+x)=1+log(1+x).由0<x<1知,1+x>1及>1,∴log(1+x)>0,故>1,∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.8.(13分)已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.解 由题意,得解得所以f(3)=9a-c=-f(1)+f(2).因为-4≤f(1)≤-1,所以≤-f(1)≤,因为-1≤f(2)≤5,所以-≤f(2)≤.两式相加,得-1≤f(3)≤20,故f(3)的取值范围是[-1,20].B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·上海)若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ). A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D.+≥2解析 对A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对B、C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,显然B、C不对;对D:当ab>0时,由均值定理+=2=2.答案 D6\n2.(2022·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件甲:对于区间[-1,0]上的一切x值,ax+b>0恒成立;条件乙:2b-a>0,则甲是乙的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x∈[-1,0]时,恒有ax+b>0成立,∴当a>0时,ax+b≥b-a>0,当a<0时,ax+b≥b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0,∴甲⇒乙,乙推不出甲,例如:a=b,b>0时,则2b-a=b>0,但是,当x=-1时,a·(-1)+b=-b+b=-b<0,∴甲是乙的充分不必要条件.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2022·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调减函数,α,β,γ∈R,且α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,则f(α)+f(β)+f(γ)与0的关系是________.解析 ∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∵α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,∴α>-β,β>-γ,γ>-α,而f(x)在R上是单调减函数,∴f(α)<f(-β)=-f(β),f(β)<f(-γ)=-f(γ),f(γ)<f(-α)=-f(α),以上三式相加得:2[f(α)+f(β)+f(γ)]<0,即f(α)+f(β)+f(γ)<0.答案 f(α)+f(β)+f(γ)<04.(2022·南京一模)给出下列四个命题:①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则>;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.6\n其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上).解析 ①作差可得-=,而a>b>0,则<0,此式错误.②a>b>0,则<,进而可得->-,所以可得a->b-正确.③-===<0,错误.④当a-b<0时此式不成立,错误.答案 ②三、解答题(共25分)5.(12分)(2022·安徽)(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy;(2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.证明 (1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+≤++xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.将上式中的右式减左式,得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得logca=,logba=,logcb=,logac=xy.于是,所要证明的不等式即为x+y+≤++xy其中x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.6.(13分)已知f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数m,使得f(m-sinx)≤f对定义域内的一切实数x均成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.思维启迪:不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域.6\n解 假设实数m存在,依题意,可得即因为sinx的最小值为-1,且-(sinx-)2的最大值为0,要满足题意,必须有解得m=-或≤m≤3.所以实数m的取值范围是∪.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需m≤f(x)min.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:38:56
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