【创新设计】2022届高考物理一轮 （考纲自主研读+命题探究+高考全程解密） 第3讲运动的图象 追及和相遇问题（含解析） 新人教版

第3讲　专题　运动的图象　追及和相遇问题一、运动图象1．x－t图象(1)概念图1－3－1在平面直角坐标系中用纵轴表示位移x，横轴表示时间t，画出的图象就是位移－时间图象．(2)基本特征x－t图象反映了物体运动的位移随时间变化的规律．如图1－3－1所示．①匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜直线．②匀变速直线运动的x－t图象是一条曲线．(3)图线斜率的物理意义图线斜率的大小表示物体的速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．2．v－t图象(1)概念在平面直角坐标系中用纵轴表示速度v，横轴表示时间t，画出的图象就是速度－时间图象．(2)基本特征v－t图象反映了物体运动的速度随时间变化的规律，如图1－3－2所示．图1－3－214\n(3)图线斜率的物理意义图线上某点切线的斜率大小表示物体的加速度大小，斜率的正负表示加速度的方向．(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的物体的位移．若该面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若该面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．【即学即练】1．(单选)如图1－3－3甲、乙所示的位移－时间(x－t)图象和速度－时间(v－t)图象中，给出了四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，则下列说法中正确的是(　　)．图1－3－3A．图线1、3表示物体做曲线运动B．v－t图象中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等C．x－t图象中t4时刻物体3的速度大于物体4的速度D．两图象中t2、t5时刻分别表示物体2和4开始反向运动解析　x－t、v－t图象都只能描述直线运动，A错；v－t图象中0～t1时间内物体1和物体2的位移不同，所以平均速度不同，B错；x－t图象中图线上某点切线斜率的绝对值表示该时刻速度的大小，所以t4时刻物体3的速度大于物体4的速度，C对；t2时刻物体2的运动方向不变，D错．答案　C二、追及相遇问题14\n1．从常见的三种追及、相遇问题看一个条件——两者速度相等(1)初速度为零(或较小)的匀加速直线运动的物体追匀速运动的物体，在速度相等时二者间距最大；(2)匀减速直线运动的物体追匀速运动的物体，若在速度相等之前未追上，则在速度相等时二者间距最小；(3)匀速运动的物体追匀加速直线运动的物体，若在速度相等之前未追上，则在速度相等时二者间距最小．2．分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼审题时要充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．【即学即练】2．(单选)在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶，当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动．则(　　)．A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大C．若v＞，则两车一定不会相撞D．若v＜，则两车一定不会相撞解析　甲车做减速运动，乙车做加速运动，两车速度相同时，距离最小，若此时没有相撞，以后也不可能相撞．设两车相距为d时，两车恰好相撞，这种情况下甲车的速度为v0，根据v＝2(a1＋a2)d，若v＞v0，两车一定相撞，若v＜v0，两车一定不会相撞．答案　D题型一　对x－t、v－t图象的理解【典例1】(单选)如图1－3－4甲、乙所示的位移(x)－时间(t)图象和速度(v)－时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　)．14\n图1－3－4A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等解析　本题考查运动学中的两类图象问题．x－t图象表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹．由x－t图象可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误．在v－t图象中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确．由图线可知，0～t2时间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误．答案　C【变式跟踪1】(多选)图1－3－5某汽车在启用ABS刹车系统和不启用该刹车系统紧急刹车时，其车速与时间的变化关系分别如图1－3－5中的①、②图线所示，由图可知，启用ABS后(　　)．A．t1时刻车速更小B．0～t1的时间内加速度更小C．加速度总比不启用ABS时大D．刹车后前行的距离比不启用ABS短解析　由图知启用ABS后t1时刻车速较大，A错；由v－t图线斜率等于加速度可知，0～t1的时间内启用ABS后加速度较小，t1～t2的时间内启用ABS后加速度较大，B对、C错；由v－t图线所围面积等于对应时间内所发生的位移可知启用ABS刹车后前行的距离较短，D对．14\n答案　BD,借题发挥1．x－t图象和v－t图象主要区别2．运用运动图象解题的技巧(1)利用图象分析物体的运动时，关键是从图象中找出有用的信息或将题目中的信息通过图象直观反映出来．(2)v－t图象中，由于位移的大小可以用图线和t坐标轴围成的面积表示，因此可以根据面积判断物体是否相遇，还可以根据面积的差判断物体间距离的变化．(3)利用图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况．题型二　运动图象的应用　【典例2】(多选)(2022·山东卷，16)图1－3－6将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图1－3－6所示．以下判断正确的是(　　)．A．前3s内货物处于超重状态B．最后2s内货物只受重力作用C．前3s内与最后2s内货物的平均速度相同D．第3s末至第5s末的过程中，货物的机械能守恒14\n审题流程―→确定图象是v－t图象　↓―→　↓―→　↓―→　↓―→自己得出结果哟！解析　由v－t图象可知，货物在前3s内具有向上的加速度，因此货物处于超重状态，选项A正确；最后2s内，货物具有向下的加速度，其大小为a＝m/s2＝3m/s2<g，因此货物在这一段时间内受重力和向上的拉力，选项B错误；货物在前3s内的平均速度v1＝m/s＝3m/s，最后2s内的平均速度v2＝m/s＝3m/s，两段时间内的平均速度相同，选项C正确；第3s末至第5s末的过程中，货物在向上的拉力和向下的重力作用下做匀速直线运动，拉力做正功．故机械能不守恒，选项D错误．答案　AC【变式跟踪2】图1－3－7(单选)甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移图象如图1－3－7所示，图象中的OC段与AB平行，CB段与OA平行，则下列说法中正确的是(　　)．A．t1到t2时刻两车的距离越来越远B．0～t3时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度14\nC．甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度D．t3时刻甲车在乙车的前方解析　由位移—时间图象可以看出，t1到t2时刻两车的距离没有发生变化，选项A错误；0到t3时间内甲、乙的位移相同，因此平均速度相同，选项B错误；图线斜率表示速度，可知甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度，选项C正确；t3时刻甲、乙走到了同一位置，选项D错误．因此正确选项为C.答案　C,借题发挥运动学图象“六看”——点、线、面、轴、截、斜1．看“轴”2．看“线”3．看“斜率”4．看“面积”5．看“纵截距”6.题型三　追及、相遇问题【典例3】A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，其速度为vB＝30m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．解析　根据两车的运动性质画出它们的运动过程示意图(草图)，如图所示．由题意可知，两车不相撞的速度临界条件是B车减速到与A车的速度相等(速度关系)．aB＝＝0.25m/s2，14\nB车减速至vA＝10m/s的时间t＝80s，在这段时间(时间关系)内A车的位移为：xA＝vAt＝800m，则在这段时间内B车的位移为：xB＝vBt－aBt2＝1600m，两车的位移关系：xB＝1600m>xA＋x0＝1500m，所以A、B两车在速度相同之前已经相撞．答案　见解析请你试一试：利用“数学方法”和“图象法”求解此题．【变式跟踪3】交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时也格外小心．现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v0＝8m/s.当两车快要到十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间为t＝0.5s)．已知甲车紧急刹车时制动力为车重的0.5倍，乙车紧急刹车时制动力为车重的，g＝10m/s2.(1)若甲车司机看到黄灯时车头距警戒线6.5m，他采取了上述措施后是否会闯红灯？(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应至少保持多大距离？解析　(1)甲车紧急刹车的加速度为a1＝＝＝5m/s2，这段时间滑行距离s1＝＝m＝6.4m，6．4m<6.5m，甲车不会闯红灯．(2)乙车紧急刹车的加速度为a2＝＝＝4m/s2，乙车刹车过程中滑行的距离s2＝＝m＝8m，乙车在司机反应时间内的运动位移s3＝v0t＝8×0.5m＝4m，Δs＝s2＋s3－s1＝5.6m.答案　(1)不会　(2)5.6m,以题说法1．追及和相遇问题的分析方法(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动的图景．(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找出两物体的运动关系．(3)数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，14\n用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．(4)图象分析法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象分析求解．2．追及和相遇问题的解题方法(1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图、三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，最后还要注意对结果的讨论分析．(2)解决追及问题的思路：↓↓↓解题技法2　用图象法解追及和相遇问题方法1：速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t＝t0即速度相等时，两物体相距最远为x0＋Δx14\n③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追及且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速方法2：速度大者追速度小者类型图象说明匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻；①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δx＜x0，则不能追及，此时两物体最小距离为x0－Δx③若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇匀速追匀加速匀减速追匀加速说明　①a.表中的Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而与前物体形成的位移差；b．x0是开始追及以前两物体之间的距离，在表第1、2、3中把t0看作两者距离开始缩小的时刻；c．t2－t0＝t0－t1；d．v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度．②追及问题可分为两类，其中第1类是Δx可以随时间无限增加；第2类是Δx到速度相等时受到限制.典例在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．14\n解析　(图象法)：利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at，对B车有vB＝v＝at，以上两式联立解得t＝.经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.同学们也可用其他方法(例如：极值法、相对运动法等)求解．答案　v0≤【应用】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？解析　(1)汽车和自行车的v－t图象如图所示，由图象可得t＝2s时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝×6×2m＝6m.(2)两车距离最近时，即两个v－t图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v＝12m/s.答案　见解析14\n一、运动图象问题1．(单选)(2022·南通模拟)如图1－3－8所示，图1－3－8是A、B两质点从同一地点运动的x－t图象，则下列说法错误的是(　　)．A．A质点以20m/s的速度匀速运动B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动C．B质点最初4s做加速运动，后4秒做减速运动D．A、B两质点在4s末相遇解析　x－t图象的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由x－t图象可知，A质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v＝＝m/s＝20m/s，A正确；B质点最初4s沿正方向做减速运动，后4s沿负方向做加速运动，B正确、C错误；4s末A、B两质点达到同一位置，故相遇，D正确．答案　C2．(单选)(2022·苏州联考)下列图象均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2s内物体位移最大的是(　　)．解析　选项A中，当t＝2s时，x＝0，这表示物体在t＝2s内位移为0，即物体做的是一次往返运动；v－t图象与坐标轴所围图形的“面积”表示位移大小，当图形位于时间轴上方时表示位移方向为正，当位于下方时表示位移方向为负，观察选项图可知，选项B中的“图形”只位于横轴上方，这表示物体在t＝2s内位移方向为正，大小等于图形的“面积”，而选项C、D中的“图形”有两部分组成，它们分别在横轴上下两侧，且两部分图形的“面积”大小相等，这表示物体在t＝2s内位移均为0.选项B符合题意．答案　B3．(多选)下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是(　　)．14\n解析　A、B选项中的左图表明0～3s内物体匀速运动，位移正比于时间，加速度为零，3～5s内物体匀加速运动，加速度大小a＝＝2m/s2，A错、B对；C、D选项中左图0～3s位移不变，表示物体静止(速度为零，加速度为零)，3～5s内位移与时间成正比，表示物体匀速，v＝＝2m/s，a＝0，C对、D错．答案　BC二、追及相遇问题4．(单选)汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始(　　)．A．A车在加速过程中与B车相遇B．A\，B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能相遇解析　作出A\，B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30s时，两车运动图象所围面积并不相等，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30s后A车以12m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，所以两车不可能再次相遇，选项C正确，选项B、D错误．答案　C14\n5．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图1－3－9所示．若甲车加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：图1－3－9(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能否超过乙车？解析　(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝＝s＝5s；甲车位移x甲＝v甲t1＋at＝275m，乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m，此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m(2)甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1甲车位移x甲′＝v甲t2＋at，乙车位移x乙′＝v乙t2，将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2＋at＝v乙t2＋L1，代入数值并整理得t－10t2－11＝0，解得t2＝－1s(舍去)或t2＝11s，此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660m，因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．答案　(1)5s　36m　(2)不能14