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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第10讲 等差数列与等比数列
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第10讲 等差数列与等比数列
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专题三数 列第10讲 等差数列与等比数列1.理解等差、等比数列的概念,掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式.2.数列是高中数学中的重要内容,在考试说明中,等差、等比数列都是C级要求,因而考试题多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思想.填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质,考查运算求解能力;解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识,基本上都是压轴题.1.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8.设S3n为该数列的前3n项和,Tn为数列{a}的前n项和.若S3n=tTn,则实数t的值为________.答案:7解析:∵a4=a1q3=q3=8,∴q=2,S3n==8n-1.由题意数列{a}是首项为1,公比为8的等比数列,∴Tn==(8n-1),由S3n=tTn,得t=7.2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值时的n值是________.答案:20解析:∵an=41-2n,∴a20>0,a21<0.3.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式an=________.答案:2n解析:∵a=a10,∴(a1q4)2=a1q9,∴a1=q,∴an=qn.∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an(1+q2)=5anq,∴2(1+q2)=5q,解得q=2或q=(舍去),∴an=2n.4.设x、y、z是实数,若9x、12y、15z成等比数列,且、、成等差数列,则+=________.答案:解析:由题知解得xz=y2=y2,x+z=y,从而+===-2=-2=.题型一等差、等比数列基本量的计算例1等差数列{an}的各项均为正数,且a1=1,前n项和为Sn;{bn}为等比数列,b1=1,前n项和为Tn,且b2S2=12,b3S3=81.(1)求an与bn;(2)求Sn与Tn;(3)设cn=anbn,{cn}的前n项和为Mn,求Mn.-7-\n解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有解得或(舍去).故an=1+2(n-1),即an=2n-1,bn=3n-1.(2)Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2,Tn==.(3)cn=(2n-1)×3n-1,Mn=1+3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1,①3Mn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,②①-②得-2Mn=1+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n-1)×3n,即Mn=(n-1)×3n+1.已知等差数列{an}的公差d不为0,且a3=a,a2=a4+a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求满足Sn-2an-20>0的所有正整数n的集合.解:(1)由a3=a,得a1+2d=(a1+6d)2. ①由a2=a4+a6,得a1+d=2a1+8d,即a1=-7d. ②②代入①,得-5d=d2.∴d=-5,或d=0(不符合题意,舍去).则a1=35.∴an=35+(n-1)(-5)=-5n+40.(2)Sn==.不等式Sn-2an-20>0,即-2(-5n+40)-20>0.整理得n2-19n+40<0.∴<n<.则<n<,即2<n<17.∵n∈N*,∴所求n的值的集合为{3,4,…,16}.题型二等差、等比数列的证明与判定例2数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明:由已知可得=+1,即-=1,所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2,从而可得bn=n·3n.Sn=1×31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n,①3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)3n+n×3n+1.②-7-\n①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=,所以Sn=.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解:由已知得∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).(2)证明:由(1)得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.∵p、q、r∈N*,∴∴=pr,即(p-r)2=0,∴p=r.这与p≠r矛盾,故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.题型三可转化为等差、等比数列的问题例3已知数列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),bn=3an.(1)试证明数列是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(2)在数列{bn}中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由;(3)试证在数列{bn}中,一定存在满足条件1<r<s的正整数r、s,使得b1,br,bs成等差数列;并求出正整数r、s之间的关系.(1)证明:由an+an+1=2n,得an+1=2n-an,所以===-1.因为a1-=,所以数列{an-×2n}是首项为,公比为-1的等比数列,所以an-×2n=×(-1)n-1,即an=[2n-(-1)n],所以bn=2n-(-1)n.(2)解:假设在数列{bn}中,存在连续三项bk-1,bk,bk+1(k∈N*,k≥2)成等差数列,则bk-1+bk+1=2bk,即[2k-1-(-1)k-1]+[2k+1-(-1)k+1]=2[2k-(-1)k],即2k-1=4(-1)k-1.①若k为偶数,则2k-1>0,4(-1)k-1=-4<0,所以不存在偶数k,使得bk-1,bk,bk+1成等差数列;②若k为奇数,则当k≥3时,2k-1≥4,而4(-1)k-1=4,所以,当且仅当k=3时,bk-1,bk,bk+1成等差数列.综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列.(3)证明:要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2br,即3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即2s-2r+1=(-1)s-2(-1)r-3.(*)①若s=r+1,在(*)式中,左端2s-2r+1=0,右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3,要使(*)式成立,当且仅当s为偶数时.又s>r>1,且s、r为正整数,-7-\n所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列;②若s≥r+2,在(*)式中,左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1,由(2)可知,r≥3,所以r+1≥4,所以左端2s-2r+1≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”),右端(-1)s-2(-1)s-3≤0,所以当s≥r+2时,b1,br,bs不成等差数列.综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列.题型四数列的综合应用例4已知数列{an}满足a1+++…+=n2+2n(其中常数λ>0,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给出r、s、t满足的条件;若不存在,说明理由;(3)设Sn为数列{an}的前n项和,若对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求实数λ的取值范围.解:(1)a1=3,当n≥2时,由a1+++…+=n2+2n,①得a1+++…+=(n-1)2+2(n-1),②①-②,得=2n+1,所以an=(2n+1)·λn-1(n≥2),因为a1=3,所以an=(2n+1)·λn-1(n∈N*).(2)当λ=4时,an=(2n+1)·4n-1.若存在ar,as,at成等比数列,则[(2r+1)·4r-1][(2t+1)·4t-1]=(2s+1)2·42s-2,整理得(2r+1)(2t+1)4r+t-2s=(2s+1)2.由奇偶性知r+t-2s=0,所以(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0.这与r≠t矛盾,故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.(3)Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1.当λ=1时,Sn=3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n;当λ≠1时,Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1,λSn=3λ+5λ2+…+(2n-1)λn-1+(2n+1)λn,则(1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3+…+λn-1)-(2n+1)λn=3+2×-(2n+1)λn.要对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,①当λ=1时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论成立;②当λ≠1时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2×-(2n+1)λn+λan=3+2×=-,因此,对任意n∈N*,都有≥·λn恒成立.当0<λ<1时,只要≥λn对任意n∈N*恒成立,即只要有≥λ即可,解得λ≤1或λ≥,因此当0<λ<1时,结论成立;当λ≥2时,≥·λn对任意n∈N*恒成立不可能;当1<λ<2时,只要≤λn对任意n∈N*恒成立,即只要≤λ,解得1≤λ≤,因此当1<λ≤时,结论成立.综上,实数λ的取值范围为.-7-\n1.(2022·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6=________.答案:4解析:设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.本题主要考查等比数列的通项公式.2.(2022·广东卷)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.答案:5解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=a=4.∵an>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2a4)·a3=25,∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.3.(2022·天津卷)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1、S2、S4成等比数列,则a1=________.答案:-解析:∵{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和,∴S1=a1,S2=2a1-1,S3=4a1-6,由S1、S2、S3成等比数列,得S=S1·S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.4.(2022·江西卷)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.答案:解析:因为a1=7>0,当且仅当n=8时Sn取最大值,可知d<0且同时满足a8>0,a9<0,∴解得-1<d<-,∴-1<d<-.5.(2022·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1、an、am成等比数列.(1)解:由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使得a1、an、am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1、an、am成等比数列.6.(2022·湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1、a2、a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{an}的公差为d,依题意知,2、2+d、2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,-7-\n从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.(本题模拟高考评分标准,满分16分)(2022·苏州期末)设数列{an}满足an+1=2an+n2-4n+1.(1)若a1=3,求证:存在f(n)=an2+bn+c(a、b、c为常数),使数列{an+f(n)}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,求首项a1的值与数列{bn}的通项公式.(1)证明:∵an+1=2an+n2-4n+1,设an+1+a(n+1)2+b(n+1)+c=2(an+an2+bn+c),(2分)即an+1=2an+an2+(b-2a)n+c-a-b.(4分)∴∴a=1,b=-2,c=0.(6分)∵a1+1-2=2,∴存在f(n)=n2-2n,使数列{an+n2-2n}是公比为2的等比数列.(8分)∴an+n2-2n=2×2n-1=2n.则an=2n-n2+2n.(10分)(2)解:∵an+1=2an+n2-4n+1,即an+1+(n+1)2-2(n+1)=2(an+n2-2n),∴an+n2-2n=(a1-1)2n-1,即an=(a1-1)2n-1-n2+2n.(12分)∴bn=(14分)∵{bn}是等差数列,∴a1=1,bn=-2n+3.(16分)1.若数列{an},{bn}的通项公式分别是an=(-1)n+2011·a,bn=2+,且an<bn对任意n∈N*恒成立,则常数a的取值范围是____________.答案:[-2,1]解析:a>0时,an的最大值为a(n取奇数),bn的最小值为1,若an<bn对任意n∈N*恒成立,则a<1;a=0时,bn>0,an<bn恒成立;a<0时,an的最大值为-a(n取偶数),bn>2,则-a≤2.综上,a∈[-2,1).2.已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中m≥3,m∈N*),并对任意的n∈N*,均有an+2m=an成立.(1)当m=12时,求a2010;(2)若a52=,试求m的值;(3)判断是否存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当m=12时,数列的周期为24.-7-\n∵2010=24×83+18,而a18是等比数列中的项,∴a2010=a18=a12+6==.(2)设am+k是第一个周期中等比数列中的第k项,则am+k=.∵=,∴等比数列中至少有7项,即m≥7,则一个周期中至少有14项,∴a52最多是第三个周期中的项.若a52是第一个周期中的项,则a52=am+7=,∴m=52-7=45;若a52是第二个周期中的项,则a52=a3m+7=,∴3m=45,即m=15;若a52是第三个周期中的项,则a52=a5m+7=,∴5m=45,即m=9.综上,m=45、15或9.(3)∵2m是此数列的周期,∴S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和,∴S2m最大时,S128m+3最大.∵S2m=10m+×(-2)+=-m2+11m+1-=-+-,当m=6时,S2m=31-=30;当m≤5时,S2m<30;当m≥7时,S2m<-+=29<30,∴当m=6时,S2m取得最大值,则S128m+3取得最大值为64×30+24=2007.由此可知不存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-.(2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4,从而Sn==.4.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.解:(1)当n=1时,a1=S1=k+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1,(*)经检验,n=1时(*)式成立,∴an=2kn-k+1(n∈N*).(2)∵am,a2m,a4m成等比数列,∴a=am·a4m,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0,又对任意的m∈N*成立,∴k=0或k=1.-7-
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高考 - 二轮专题
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