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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第15讲 点、直线、平面之间的位置关系
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第15讲 点、直线、平面之间的位置关系
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第15讲 点、直线、平面之间的位置关系江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题.一道填空题,常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等,要求考生对公式、公理、定理、性质、定义等非常熟悉.并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题;一道大题,常考线面的平行、垂直,面面的平行与垂直,偶尔也求确定几何体的体积,通过线段长度、线段长度比,点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系,要重视,要学会规范答题.1.下列命题中,不是公理的是________.(填序号)①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:①2.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出以下命题:①a∥b;②a∥α;③α∥β.其中真命题是____________.(填序号)答案:②③3.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中正确的个数有________个.答案:2解析:其中②④正确.4.已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.答案:充分不必要题型一线面平行与面面垂直的证明例1如图,在三棱锥PABC中,点E、F分别是棱PC、AC的中点.(1)求证:PA∥平面BEF;(2)若平面PAB⊥平面ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥PA.证明:(1)在△PAC中,E、F分别是PC、AC的中点,所以PA∥EF.又PA平面BEF,EF平面BEF,所以PA∥平面BEF.-9-\n(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB,垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD平面PAB,所以PD⊥平面ABC.又BC平面ABC,所以PD⊥BC.又PB⊥BC,PD∩PB=P,PD平面PAB,PB平面PAB.所以BC⊥平面PAB.又PA平面PAB,所以BC⊥PA.如图的几何体中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2,F为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE;(2)平面BCE⊥平面CDE.证明:(1)取CE的中点G,连结FG、BG.∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=DE.∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥DE,∴GF∥AB.又AB=DE,∴GF=AB.∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.∵AF平面BCE,BG平面BCE,∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF平面ACD,∴DE⊥AF.∵BG∥AF,∴BG⊥DE,BG⊥CD.又CD∩DE=D,∴BG⊥平面CDE.∵BG平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.题型二点共面与线面垂直的证明例2如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.证明:(1)在DD1上取点N,使DN=1,连结EN,CN,则AE=DN=1,CF=ND1=2.因为AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形ADNE,CFD1N都为平行四边形.从而EN∥=AD,FD1∥CN.又因为AD∥=BC,所以EN∥=BC,故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CN∥BE,从而FD1∥BE.因此,E、B、F、D1四点共面.(2)因为GM⊥BF,又BM⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,-9-\nBM=BG·tan∠BGM=BG·tan∠CFB=BG·=×=1.因为AE∥=BM,所以ABME为平行四边形,从而AB∥EM.又AB⊥平面BCC1B1,所以EM⊥平面BCC1B1.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=AC,D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)C1E⊥平面BDE.证明:(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG.因为F为C1B的中点,所以FG∥C1C,FG=C1C.在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A∥C1C,A1A=C1C且E为A1A的中点,所以FG∥EA,且FG=EA,所以四边形AEFG是平行四边形.所以EF∥AG.因为EF平面ABC,AG平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,BD平面ABC,所以A1A⊥BD.因为D为AC的中点,BA=BC,所以BD⊥AC.因为A1A∩AC=A,A1A平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BD⊥C1E.根据题意,可得EB=C1E=AB,C1B=AB,所以EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°,即C1E⊥EB.因为BD∩EB=B,BD平面BDE,EB平面BDE,所以C1E⊥平面BDE.题型三直线的平行与垂直证明例3如图,在六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1∥CC1,A1B=A1D,AB=AD.求证:(1)AA1⊥BD;(2)BB1∥DD1.-9-\n证明:(1)取线段BD的中点M,连结AM、A1M.因为A1D=A1B,AD=AB,所以BD⊥AM,BD⊥A1M.又AM∩A1M=M,AM、A1M平面A1AM,所以BD⊥平面A1AM.而AA1平面A1AM,所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1,AA1平面D1DCC1,CC1平面D1DCC1,所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1平面A1ADD1,平面A1ADD1∩平面D1DCC1=DD1,所以AA1∥DD1.同理得AA1∥BB1,故BB1∥DD1.点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.题型四立体几何中的探索性问题例4如图四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AD=1,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,Q是AD的中点.(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)M在线段PC上,PM=tPC,线段BC上是否存在一点R,使得当t∈(0,1)时,总有BQ∥平面MDR?若存在,确定R点位置;若不存在,说明理由.解:(1)连结PQ,则PQ⊥AD.由题意得PQ=,SABCD=.∵平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,PQ⊥AD,PQ平面PAD,∴PQ⊥平面ABCD,∴VP-ABCD=PQ·SABCD=.(2)存在,R为BC的中点.取R为BC的中点,连结MR,DR,DM,则BQ∥DR.∵BQ平面DMR,DR平面DMR,∴BQ∥平面DMR.因此,R为BC的中点,当t∈(0,1)时,总有BQ∥平面MDR,反之也成立.1.设l是直线,α、β是两个不同的平面,则下列结论正确的是________.(填序号)①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;-9-\n④若α⊥β,l∥α,则l⊥β.答案:②解析:本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质.利用排除法可得②是正确的,因为l∥α,l⊥β,则α⊥β.如①:l∥α,l∥β时,则α⊥β或α∥β;③:若α⊥β,l⊥α,则l∥β或lβ;④:若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊥β.2.(2022·辽宁卷)已知m、n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是________.(填序号)①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m⊥α,nα,则m⊥n;③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;④若m∥α,m⊥n,则n⊥α.答案:②3.(2022·全国卷)已知m、n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则下列命题中正确的有________.(填序号)①α∥β,且l∥α;②α⊥β,且l⊥β;③α与β相交,且交线垂直于l;④α与β相交,且交线平行于l.答案:④4.(2022·广东卷)设l为直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是________.(填序号)①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l⊥α,l⊥β,则α∥β;③若l⊥α,l∥β,则α∥β;④若α⊥β,l∥α,则l⊥β.答案:②5.(2022·山东卷)如图,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点.求证:(1)CE∥平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.证明:(1)∵四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点,取PA的中点H,则由HE∥AB,HE=AB,而且CD∥AB,CD=AB,可得HE和CD平行且相等,故四边形CDHE为平行四边形,故CE∥DH.由于DH在平面PAD内,而CE不在平面PAD内,故有CE∥平面PAD.(2)由于AB⊥AC,AB⊥PA,而PA∩AC=A,可得AB⊥平面PAC.再由AB∥CD可得,CD⊥平面PAC.由于MN是△PCD的中位线,故有MN∥CD,故MN⊥平面PAC.由于EF为△PAB的中位线,可得EF∥PA,而PA在平面PAC内,而EF不在平面PAC内,故有EF∥平面PAC.同理可得,FG∥平面PAC.而EF和FG是平面EFG内的两条相交直线,故有平面EFG∥平面PAC.∴MN⊥平面EFG,而MN在平面EMN内,-9-\n故有平面EFG⊥平面EMN.6.(2022·江苏卷)如图,在三棱锥SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E、G分别是棱SA、SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F是SB的中点.∵E、F分别是SA、SB的中点,∴EF∥AB.又∵EF平面ABC,AB平面ABC,∴EF∥平面ABC.同理FG∥平面ABC.又∵EF∩FG=F,EF、FG平面ABC,∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,AF平面SAB,AF⊥SB,∴AF⊥平面SBC.又∵BC平面SBC,∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC,AB∩AF=A,AB、AF平面SAB,∴BC⊥平面SAB.又∵SA平面SAB,∴BC⊥SA.(本题模拟高考评分标准,满分14分)(2022·南京二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,DC∥AB,DA=DC=2AB,O为AC与BD的交点,AB⊥平面PAD,△PAD是正三角形.(1)若点E为棱PA上一点,且OE∥平面PBC,求的值;(2)求证:平面PBC⊥平面PDC.(1)解:因为OE∥平面PBC,OE平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,所以OE∥PC,所以AO∶OC=AE∶EP.(3分)因为DC∥AB,DC=2AB,所以AO∶OC=AB∶DC=1∶2.所以=.(6分)(2)证明:(证法1)取PC的中点F,连结FB、FD.因为△PAD是正三角形,DA=DC,所以DP=DC.因为F为PC的中点,所以DF⊥PC.(8分)因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,AB⊥AD,AB⊥PD.因为DC∥AB,所以DC⊥DP,DC⊥DA.-9-\n设AB=a,在等腰直角三角形PCD中,DF=PF=a.在Rt△PAB中,PB=a.在直角梯形ABCD中,BD=BC=a.因为BC=PB=a,点F为PC的中点,所以PC⊥FB.在Rt△PFB中,FB=a.在△FDB中,由DF=a,FB=a,BD=a,可知DF2+FB2=BD2,所以FB⊥DF.(12分)由DF⊥PC,DF⊥FB,PC∩FB=F,PC、FB平面PBC,所以DF⊥平面PBC.又DF平面PCD,所以平面PBC⊥平面PDC.(14分)(证法2)取PD、PC的中点,分别为M、F,连结AM、FB、MF,所以MF∥DC,MF=DC.因为DC∥AB,AB=DC,所以MF∥AB,MF=AB,即四边形ABFM为平行四边形,所以AM∥BF.(8分)在正三角形PAD中,M为PD中点,所以AM⊥PD.因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥AM.因为DC∥AB,所以DC⊥AM.因为BF∥AM,所以BF⊥PD,BF⊥CD.因为PD∩DC=D,PD、DC平面PCD,所以BF⊥平面PCD.(12分)因为BF平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.(14分)1.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.答案:62.m、n是空间两条不同的直线,α、β是空间两个不同的平面,下面有四个命题:①m⊥α,n∥β,α∥βm⊥n;②m⊥n,n∥β,m⊥αα∥β;③m⊥n,α∥β,m∥αn⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥βn⊥β.其中真命题是____________.(填序号)答案:①④3.给出以下四个命题,其中真命题是____________.(填序号)①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.答案:①②④4.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A、B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点,有以下四个命题:-9-\n①PA∥平面MOB;②MO∥平面PBC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是____________.(填序号)答案:④5.直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=BB1=1,AB1=.(1)求证:平面AB1C⊥平面B1CB;(2)求三棱锥A1AB1C的体积.(1)证明:直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,则BB1⊥AB,BB1⊥BC.又由于AC=BC=BB1=1,AB1=,则AB=,则由AC2+BC2=AB2,可知AC⊥BC.又由BB1⊥底面ABC,可知BB1⊥AC,则AC⊥平面B1CB,所以平面AB1C⊥平面B1CB.(2)解:三棱锥A1AB1C的体积VA1AB1C=VB1A1AC=××1=.(注:还有其他转换方法)6.已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图2).(1)求证:平面PAD⊥平面PCD;(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB=2∶1;(3)在点M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.图1 图2(1)证明:依题意知CD⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,∴DC⊥平面PAD.又DC平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解:由(1)知PA⊥平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.作MN⊥AB,垂足为N,则MN⊥平面ABCD,设MN=h,-9-\n则VMABC=S△ABC·h=××2×1×h=,VPABCD=S梯ABCD·PA=××1×1=,要使VPDCMA∶VMACB=2∶1,即∶=2∶1,解得h=,即M为PB的中点.(3)解:连结BD交AC于O.因为AB∥CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD.∴O不是BD的中心.又∵M为PB的中点,∴在△PBD中,OM与PD不平行,∴OM所在直线与PD所在直线相交.又OM平面AMC,∴直线PD与平面AMC不平行.-9-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:21:19
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