【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第四章 三角函数及三角恒等变换 解三角形 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第四章三角函数及三角恒等变换解三角形理（含2022试题）理数1.(2022大纲全国,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.　　[答案]1.B[解析]1.依题意作图,平移CD至AD',作AE⊥l,且D'E∥l,连结BE,BD',则D'E⊥面BAE,则∠EAB=60°,∠D'AE=45°,设AB=1,AE=1,则BE=1,D'E=1,D'A=.在Rt△BED'中,BD'=.∴cos∠BAD'===,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2.(2022重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是(　　)A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24[答案]2.A[解析]2.设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+⇒sin2A+sin2B=-sin2C+⇒sin2A+sin2B+sin2C=⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=⇒2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=⇒4sinAsinBsinC=⇒sinAsinBsinC=.39\n则S=absinC=2R2·sinAsinBsinC=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sinAsinBsinC=R3∈[8,16],知C、D均不正确,bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且16>8,若B成立,A必然成立,排除B.故选A.3.(2022江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(　　)A.3B.C.　　D.3[答案]3.C[解析]3.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6①.∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=,故选C.4.(2022课标全国卷Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.[答案]4.C[解析]4.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,∴cos∠ANQ====,故选C.解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,39\n设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),∴cos<,>====,故选C.5.(2022课标全国卷Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(　　)A.5B.C.2D.1[答案]5.B[解析]5.S△ABC=AB·BCsinB=×1×sinB=,∴sinB=,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1××=5,∴AC=.故选B.6.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，，，，.则（ ）（A）    （B）    （C）    （D）[答案]6. D[解析]6. 因为＝，∴；又因为，可得,所以DE⊥AC;39\n，则可得,所以可得.7.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9)向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）A．　　　　　　B.　　　　C.　　　　D.　　         [答案]7. A[解析]7. 设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=.根据余弦定理可得，又因为∠B∈（0，π），所以.所以△ABC的面积为.而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.8.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,6)已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( ) (A)   (B)   (C) （D）39\n[答案]8. A[解析]8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2022湖北武汉高三2月调研测试，10)如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为              [答案]9. D[解析]9. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结,设,则＝,等腰梯形的周长,令则，所以，，39\n所以，当即， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长.故选D.10.(2022四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)[答案]10.60[解析]10.不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46,于是BD=AD·tan(90°-67°)=46×=19.5,DC=AD·tan(90°-30°)=46×≈79.6,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60(m).11.(2022广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则=________.[答案]11.2[解析]11.利用余弦定理,将bcosC+ccosB=2b转化为b·+c·=2b,化简得=2.12.(2022福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于________.[答案]12.2[解析]12.由=,得sinB=sinA=×=1,∴B=90°,故C=30°,∴S△ABC=AC·BCsinC=×4×2×=2.39\n13.(2022江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________.[答案]13.[解析]13.∵sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c,∴cosC====≥=,当且仅当a=b时等号成立,故cosC的最小值为.14.(2022天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________.[答案]14.-[解析]14.由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cosA===-.15.(2022课表全国Ⅰ，16，5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为________.[答案]15.[解析]15.因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos39\nA===,又0<A<π,故A=,又cosA==≥,所以bc≤4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知S△ABC=bcsinA=bc·=bc≤,故△ABC面积的最大值为.16.(2022安徽合肥高三第二次质量检测，15)中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.①总存在某内角，使②若，则③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；   ⑤若，则.[答案]16. ①④⑤[解析]16. 在中，当时，，所以①正确；当时，，满足，不满足，故②错误；设为钝角，则，所以，故③错误；因为，所以，39\n所以，由于与是一组基底，所以，所以，由余弦定理求得，故④正确；若，则，正确，因为在三角形中大边所对的角较大.故正确的是①④⑤.17.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，16)在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角,且 ，则实数范围为________.[答案]17.[解析]17. 因为，由正弦定理，所以，即，又角为锐角，所以，所以，所以，即，，解得或，故的取值范围是.18.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，13)在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则=      .[答案]18. 39\n[解析]18. 由正弦定理，，所以，即，∴19.(2022周宁、政和一中第四次联考，13)在中，角所对的边分别为.若，则　　.[答案]19. 1[解析]19. 由及正弦定理得，.20.(2022江苏苏北四市高三期末统考,13)在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．[答案]20. 7[解析]20. 如图所示，设直线与相交于，由题意知，令，则由，可得，，故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，，，，21.(2022江苏苏北四市高三期末统考,9)在△中，已知，，且的面积为，则边长为 ▲ ．[答案]21. 7[解析]21. ，，，由余弦定理得，39\n.22.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,15)已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为.，则此球的表面积等于_________.[答案]22. [解析]22. 三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，解得，根据余弦定理得，，设外接圆的半径为，则，，外接球的半径为，球的表面积为.23.(2022大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.[答案]23.查看解析[解析]23.由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因为tanA=,所以cosC=2sinC,tanC=.(6分)所以tanB=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135°.(10分)24.(2022湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(Ⅰ)求cos∠CAD的值;(Ⅱ)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.39\n[答案]24.查看解析[解析]24.(Ⅰ)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD===.(Ⅱ)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,故BC===3.25.(2022陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.39\n由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为.26.(2022安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sin的值.[答案]26.查看解析[解析]26.(Ⅰ)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(Ⅱ)由余弦定理得cosA===-.由于0<A<π,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.27.(2022浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.[答案]27.查看解析[解析]27.(Ⅰ)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,39\nsin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(Ⅱ)由c=,sinA=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,△ABC的面积为S=acsinB=.28.(2022辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B-C)的值.[答案]28.查看解析[解析]28.(Ⅰ)由·=2得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.39\n(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.29.(2022北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(Ⅰ)求sin∠BAD;(Ⅱ)求BD,AC的长.[答案]29.查看解析[解析]29.(Ⅰ)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=×-×=.(Ⅱ)在△ABD中,由正弦定理得39\nBD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.30.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，20）（原创）在中，内角、、的对边分别是、、，且。(1)   求角的大小；(2)   设，求的面积。[答案]30.查看解析[解析]30. (1)由正弦定理可得，即，故由余弦定理得，因此；  (2)因，故，得，且。故，得，故。31.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，17)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA＝，sinB＝cosC．(1)求tanC的值；(2)若a＝，求ABC的面积．[答案]31.查看解析[解析]31. (1)∵cosA＝∴sinA＝，……………2分39\n又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．　　　　  ……………5分整理得：tanC＝．　　　　  ……………6分(2)由（1）知sinC＝，cosC＝由正弦定理知：，故．         ……………9分又∵sinB＝cosC=　　     ……………10分∴ABC的面积为：S＝=．          ……………12分32.(2022山西太原高三模拟考试（一），17)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为,面积为S，   （I）求角A的值；   （Ⅱ）若=,求S+cosBcosC取最大值时S的值.[答案]32.查看解析[解析]32.39\n33.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,16)已知向量，，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,若，求的大小.[答案]33.查看解析39\n[解析]33.（Ⅰ），所以递减区间是.（5分）（Ⅱ）由和得:,若，而又,所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去.（9分）所以，由正弦定理得:.  （12分）34.(2022福州高中毕业班质量检测,17)已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.[答案]34.查看解析[解析]34.（Ⅰ）==，39\n令，解得即，,的递增区间为. （6分）（Ⅱ）由,得而,所以，所以得，因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得:　　　　①       （10分）由余弦定理得:，即　②由①②解得.       （13分）35.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），17)如图，是海平面上的两个小岛，为测量两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线航行，在时刻航行到处，测得，，1小时后，测量船到达处，测得，，求两小岛间的距离.(注：四点共面)[答案]35.查看解析[解析]35.由已知得，，，∴，39\n在，由正弦定理得，∴；（4分），，∴，在，由正弦定理得，，∴；（8分）在，，由余弦定理得：，故两小岛间的距离为海里. （12分）36.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，17)在中，角所对的边分别为，且，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，的面积，求及边的值.[答案]36.查看解析[解析]36.（Ⅰ），即，，舍，又，　　   （6分）（2），即，，（9分）又，，由正弦定理得：39\n，，即.（12分）37.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，17)在中，角、、的对边分别为，且.   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）若成等差数列，且公差大于0，求的值.[答案]37.查看解析[解析]37.（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得.　　　　①设，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②①2＋②2，得.　　　　　　　　　　　　　　③　　（7分）又，，所以0°＜＜90°，，故.　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10分）代入③式得.因此.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）38.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,17)已知向量,,函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知分别为内角、、的对边，其中为锐角，，39\n,且求的面积.[答案]38.查看解析[解析]38.解：（Ⅰ），因为，所以.      （6分）（Ⅱ），因为，所以，，则，所以，即，则，从而.    (12分）39.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，16)已知函数，且函数的最小正周期为.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)在中，角所对的边分别为,，若，，且，试求的值.[答案]39.查看解析[解析]39.解：(Ⅰ)因为，39\n由，所以，所以.（5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)，所以，所以，解得，由于为的内角，所以，又，所以，即，又，由余弦定理得：.（12分）40.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，16）设，，函数，且函数图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)为求函数的解析式；(Ⅱ)在锐角三角形中，角的对边分别为,且满足，..求边的长.[答案]40.查看解析[解析]40.(Ⅰ)，又因为，所以，39\n所以.   （6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以，因为，所以，所以，（8分）所以，由正弦定理得.（12分）41.(2022广东广州高三调研测试，16)在△中，角，，所对的边分别为，，，且.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，，求的值.[答案]41.查看解析[解析]41.解：(Ⅰ)在△中，.所以.所以.（7分）(Ⅱ)因为，，，由余弦定理，得.解得.（12分）39\n42.(2022北京东城高三第二学期教学检测，15)设的内角所对的边长分别为，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值.[答案]42.查看解析[解析]42.（Ⅰ）在中，由正弦定理及可得即，则.   （6分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得，当且仅当，即时，等号成立，故当时，的最大值为.  （13分）43.（2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，17）已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若△ABC的三边满足，且边所对角为，试求的取值范围，并确定此时的取值范围．[答案]43.查看解析[解析]43.(Ⅰ)39\n，所以，所以函数的单调递减区间为. （6分）(Ⅱ)由余弦定理，所以，而，，所以，所以.   (13分)44.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，16）已知函数．  (I)求函数在上的单调递增区间； (Ⅱ)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知m=(a，b)，n=(f(C),1)且m//n，求B．[答案]44.查看解析[解析]44.39\n45.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，16）　　已知函数．（1）求函数的值域；（2）已知锐角⊿ABC的两边长分别为函数的最大值与最小值，且⊿ABC的外接圆半径为，求⊿ABC的面积．[答案]45.查看解析[解析]45.39\n   …………………………10分∴．   ………………………………12分46.(2022广西桂林中学高三2月月考，17)在中，角，，的对边分别为，，．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面为2，求．[答案]46.查看解析[解析]46.因为，所以，，，所以.由，得，即，由余弦定理，则，即，39\n所以，所以.   （10分）47.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，17）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值．[答案]47.查看解析[解析]47.48.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，19)设，函数满足.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△的内角、、所对的边分别为、、，且，求的取值范围.[答案]48.查看解析39\n[解析]48.解：（I）…………2分由得：，∴…………………………4分∴………………………………………………5分由得：，∴的单调递减区间为：…………………………7分（II）∵，由余弦定理得：，…8分即，由正弦定理得：，，，∴……………………11分∵△锐角三角形，∴，…………………12分∴的取值范围为.………………………………13分49.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,17)在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C所对的边，且  (I)求角A的大小；  (Ⅱ)若△ABC的面积为3，求a的值．[答案]49.查看解析39\n[解析]49.50.(2022湖北武汉高三2月调研测试，17)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．（Ⅰ）若a＝3，b＝，求c；（Ⅱ）求的取值范围．[答案]50.查看解析[解析]50.解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．∵△ABC是锐角三角形，∴A－B＝－C，即A－B＋C=  ①又A＋B＋C＝π，　　   ②由②－①，得B＝由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得(2＝c2＋(3)2－2c×3cos即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．当c＝2时，b2＋c2－a2＝(2＋22－(3)2＝－4＜0，∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．故c＝4．……………………………………………………………………………6分39\n故的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分51.(2022湖北八市高三下学期3月联考，17)己知函数在处取最小值．（I）求的值。  （II）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=，，求角C．[答案]51.查看解析[解析]51. （Ⅰ）==………………………………3分因为在处取得最小值，所以，故，又所以……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）知，因为，且A为△内角，所以由正弦定理得，所以或.…9分当时，当时.综上， …………………………………………………………12分39\n52.(2022周宁、政和一中第四次联考，19)直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为米，过点的一条直线与走廊的外侧两边交予、两点，且与走廊的一边的夹角为.  （Ⅰ）将线段的长度表示为的函数；  （Ⅱ）一根长度为5米的铁棒能否水平（即铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并说明理由.（铁棒的粗细忽略不计）[答案]52.查看解析[解析]52.   解析 由题意知，，其中，设　　（5分），，又，函数在上是增函数，则的最大值，的最小值为，，长度为5的铁棒能水平通过该直角走廊.     （12分）53. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,17)设的内角所对的边是，且      （Ⅰ）求；     （Ⅱ）求的值.     [答案]53.查看解析[解析]53.   解析 （Ⅰ）由正弦定理得，   由可得，又，.     （5分）    （Ⅱ）由余弦定理得，39\n.      （10分）54.(2022天津七校高三联考,16)在中，已知，.   (Ⅰ)求的值；   (Ⅱ)若为的中点，求的长.[答案]54.查看解析[解析]54. 解：（Ⅰ）且，∴，，．      （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．由正弦定理得，即，解得．           （10分）在中，，，所以．　　（13分）55.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,17)如图中，已知点在边上，满足，.   （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求.[答案]55.查看解析[解析]55. （Ⅰ）因为，所以,即，在中，由余弦定理可知，即，解之得或由于，所以        （7分）   （Ⅱ）在中，由正弦定理可知，39\n又由可知，所以,因为,所以　　     （12分）56.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,17)已知圆O的半径为R(R为常数),它的内接三角形ABC满足成立,其中分别为的对边,求三角形面积的最大值.[答案]56.查看解析[解析]56.:由,由正弦定理得代入得,由余弦定理（6分）所以=，当且仅当时,（12分）57.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，16)已知向量，，设函数.   （Ⅰ）求函数的最小正周期；   （Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求的大小.[答案]57.查看解析[解析]57.   解析 （Ⅰ），，又，.        （5分）39\n   （Ⅱ），，  （8分)由正弦定理，可得，即，又，，，由题意知识锐角，.    (12分）58.（2022陕西宝鸡高三质量检测(一)，17）在中，角所对的边分别为，且∥  （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求三角函数式的取值范围.[答案]58.查看解析[解析]58. (Ⅰ)∵，且∥，∴，由正弦定理得，又，∴，，∴，又∵，∴，∴.  （6分）（Ⅱ）原式    ，∵，∴，∴，∴，即三角函数式的取值范围为.   （12分）59.(2022广州高三调研测试,16)在△中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．[答案]59.查看解析[解析]59.解析 （Ⅰ）在△中，．39\n所以．（4分）所以.      （6分）  （Ⅱ）因为，，，由余弦定理，   （9分）得．解得．      （12分）60.(2022兰州高三第一次诊断考试,17)已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量，，且.   （Ⅰ）求角的大小；   （Ⅱ）若，求的范围.[答案]60.查看解析[解析]60.   解析 （Ⅰ）∵，，且.，，，即，，而，故.   （6分）（Ⅱ）由余弦定理，得，当且仅当时，取等号.，，又，.          （12分）61.(2022湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.[答案]61.查看解析39\n[解析]61.（1）,所以，函数的.     (5分)（2）,，,,62.(2022北京东城高三12月教学质量调研)在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且，.（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积.[答案]62.查看解析[解析]62.解：：（Ⅰ）因为，，所以cosA=，（2分）由已知得，所以sinB=sin=.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以sinC=，由正弦定理得，（8分）又因为，所以，a=，  （10分）所以.（12分）39