【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式新人教A版一、选择题1．(文)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)A．1－2a2　　　　　　B．1＋2a2C．1－a2　D．a2－1[答案]　A[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A．(理)已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝(　　)A．　　　　　　　B．C．－　D．－[答案]　D[解析]　在△ABC中，由tanA＝－<0知，∠A为钝角，所以cosA<0,1＋tan2A＝＝＝，所以cosA＝－，故选D．[点评]　学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tanA＝－，A为三角形内角，即知A为钝角，∴cosA<0，排除A、B；又由勾股数组5、12、13及tanA＝知，|cosA|＝，故选D．2．(文)(2022·重庆七校联盟联考)向量a＝(，tanα)，b＝(cosα，1)，且a∥b，则锐角α的余弦值为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　D[解析]　∵a∥b，∴－tanαcosα＝0⇒sinα＝.-11-\n∵α为锐角，∴cosα＝＝.(理)(2022·广东广州模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，则tan2x的值是(　　)A．－　B．C．－　D．[答案]　C[解析]　∵f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝＝＝－，故选C．3．(2022·湖北重点中学阶段性测试)已知函数f(x)＝则f(－2022)等于(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　B[解析]　f(－2022)＝f(2022)＝cos(＋)＝－sin＝－.4．(2022·山东青岛高三教学评估)若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA＝(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　A[解析]　∵0<A<π，∴0<2A<2π.又∵sin2A＝，即2sinAcosA＝，∴0<A<.∵(sinA＋cosA)2＝sin2A＋cos2A＋2sinAcosA＝，-11-\n∴sinA＋cosA＝.5.的值为(　　)A．－　B．－C．　D．[答案]　C[解析]　原式＝＝＝＝＝，故选C．[点评]　怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．6．(文)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　B[解析]　∵sin80°＝＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(理)已知tan140°＝k，则sin140°＝(　　)A．　B．-11-\nC．－　D．－[答案]　C[解析]　k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，∴tan40°＝－k，∴k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，∵sin240°＋cos240°＝1，∴k2cos240°＋cos240°＝1，∴cos40°＝，∴sin40°＝.二、填空题7．化简＝______(k∈Z)．[答案]　－1[解析]　对参数k分奇数、偶数讨论．当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝－1.所以＝－1.8．函数y＝＋lgcosx的定义域是________________．[答案]　{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}[解析]　由题意知如图，由tanx≥0得，mπ≤x<mπ＋，m∈Z，由cosx>0得，2nπ－<x<2nπ＋，n∈Z.∴2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z.-11-\n9．(2022·唐山海港高级中学月考)已知sinαcosα＝，且α∈(0，)，则cosα－sinα＝________.[答案]　[解析]　∵α∈(0，)，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，∵sinαcosα＝，∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，∴cosα－sinα＝.三、解答题10．(文)(2022·长沙一中月考)已知6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，α∈(，2π)．(1)求tanα的值；(2)求cos(α＋)的值．[解析]　(1)∵α∈(，2π)，∴cosα≠0，∵6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0，解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈(，2π)，∴tanα<0.故tanα＝(舍去)，∴tanα＝－.(2)∵α∈(，2π)，∴由tanα＝－，求得sinα＝－，cosα＝.∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin-11-\n＝×－(－)×＝.(理)(2022·山东青岛阶段测试)是否存在α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝·cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解析]　由条件，得①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝.又∵α∈(－，)，∴α＝或α＝－.将α＝代入②，得cosβ＝.又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知符合．将α＝－代入②，得cosβ＝.又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝，β＝满足条件．一、选择题11．(2022·龙岩月考)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　　)A．－　B．－C．　D．[答案]　A[解析]　由sinα＋cosα＝平方得：1＋sin2α＝，即sin2α＝－.又α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，-11-\n∴cosα－sinα＝－＝－.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝×(－)＝－.故选A．解答本题要注意到sinα±cosα与sinαcosα之间的关系．12．已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是(　　)A．(－，0)　B．(－1，－)C．(0，)　D．(，1)[答案]　A[解析]　如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z，因此－<cosθ<0.选A．13．(文)已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝(　　)A．　B．C．　D．[答案]　C[解析]　∵tanx＝sin(x＋)，∴tanx＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝，∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝.故选C．(理)(2022·北京海淀期中)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2-11-\n＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是(　　)A．直角三角形　B．等边三角形C．等腰三角形　D．钝角三角形[答案]　C[解析]　由题意得，cosAcosB＝·2sin2⇒cosA·cosB＝⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C．二、填空题14．(2022·上海崇明期末)若tan(－θ)＝，则sinθcosθ＝________.[答案]　[解析]　tan(－θ)＝＝，得tanθ＝，∴sinθcosθ＝＝＝＝.15．设a＝，b＝，c＝cos81°＋sin99°，将a、b、c用“<”号连接起来________．[答案]　b<c<a[解析]　a＝＝＝sin140°，b＝＝＝sin35.5°＝sin144.5°，c＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，∵y＝sinx在(90°，180°)内单调递减，∴a>c>b.16．若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．[答案]　-11-\n[分析]　利用诱导公式可将条件式化简得到sinθ＝kcosθ(或tanθ＝k)结合sin2θ＋cos2θ＝1可求得sinθ与cosθ代入待求式可获解(或将待求式除以1＝sin2θ＋cos2θ，分子分母都化为tanθ的表示式获解)．[解析]　∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝.∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝.三、解答题17．(2022·沈阳监测)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋))(0<α<)，且a·b＝.(1)求f(x)在区间[，]上的最值；(2)求的值．[解析]　(1)f(x)＝sinx－cosx＋2＝2sin(x－)＋2，∵x∈[，]，∴x－∈[，π]，∴sin(x－)∈[0,1]，∴f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)由题意知β＝2π，∴a·b＝2＋cosαtan(α＋π)＝2＋sinα＝，∴sinα＝，∴＝＝2cosα＝2＝.18．(文)(2022·龙湾中学月考)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈-11-\n，且a⊥b.(1)求sinα的值；(2)求tan的值．[解析]　(1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.∴cosα＝sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.∵α∈，∴sinα＝－.(2)由(1)可得cosα＝－，则tanα＝2.tan＝＝－3.(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f＝，求的值．[解析]　(1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋sinωx)＝＋＝sin＋，根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.所以f＝sin＋＝cosα＋＝，解得cosα＝，-11-\n因为α是第一象限角，故sinα＝，所以，＝＝＝·＝－.-11-