三年模拟一年创新2022届高考数学复习第六章第二节等差数列及其前n项和理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东东莞一模)设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为(　　)A．128B．80C．64D．56解析　因为{an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13，则公差d＝2，a1＝1，所以S8＝8a1＋d＝8＋56＝64，故选C.答案　C2．(2022·云南省昆明模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于(　　)A．4B．5C．8D．10解析　由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，所以＝＝＝4，选A.答案　A3．(2022·广东梅县测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不经过点O)，则S200等于(　　)A．100B．101C．200D．201解析　∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝＝100.答案　A4．(2022·辽宁抚顺调研)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是(　　)A．24B．48C．60D．84解析　由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.5\n答案　C二、填空题5．(2022·福建福州一模)已知等差数列{an}，其中a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n的值为________．解析　在等差数列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，所以d＝，又an＝＋(n－1)＝33，解得n＝50.答案　506．(2022·天津河西5月)定义运算＝ad－bc，函数f(x)＝图象的顶点是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则k＋r＝________．解析　f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，顶点是(－2，－7)．因为k，m，n，r成等差数列，所以k＋r＝m＋n＝－9.答案　－9一年创新演练7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________．解析　由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，所以数列{an}从第二项起构成等差数列，则S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案　2118．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________．解析　根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝64a1＝a1＋(k4－1)·(3a1)，解得k4＝22.答案　22B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·浙江杭州一模)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，5\n且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为(　　)A.B．－C.D．－解析　若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.所以m＝cos＝－，故选D.答案　D二、填空题10．(2022·福建厦门质检)公差不为零的等差数列{an}的三项a1，a4，a16成等比数列，则的值是________．解析　由已知得a＝a1·a16，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋15d)，∴d＝a1，∴＝＝.答案　11．(2022·广东深圳联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．解析　由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－＝，∴n＝4或5时，Sn最大．答案　4或512．(2022·江苏无锡一模)设函数f(x)＝＋2，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，则f(a)＋f(c)＝________．解析　依题意得b－a＝c－b，即－(a－b)＝c－b，则f(a)＋f(c)＝＋2＋＋2＝＋＋4＝0＋4＝4.答案　4三、解答题5\n13．(2022·河北衡水模拟)已知等差数列{an}中，a2＋a6＝6,Sn为其前n项和，S5＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<m对一切n∈N*成立，求最小正整数m.解　(1)由a2＋a6＝6，得a4＝3，又由S5＝＝5a3＝，得a3＝，设等差数列{an}的公差为d，则解得∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝，当n＝1时，上式同样成立，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝，又随n递增，且＜≤m，∴m≥5，mmin＝5.14．(2022·北京西城模拟)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数)．(1)证明：{}是等差数列；(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{}是等差数列，并说明理由．(1)证明　由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)可得＝＋c，所以{}是等差数列．(2)解　由(1)可得＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{}是等差数列的充要条件是＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n⇒c＝1.5\n一年创新演练15．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2n·an.(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值．(1)证明　在Sn＝－an－＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，得a1＝.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋，即2an＝an－1＋.∴2n·an＝2n－1·an－1＋1.∵bn＝2n·an，∴bn＝bn－1＋1.又b1＝2a1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．于是bn＝1＋(n－1)·1＝n，∴an＝.(2)解　∵cn＝log2＝log22n＝n，∴＝＝－.∴Tn＝＋＋…＋＝1＋－－.由Tn<，得1＋－－<，即＋>，f(n)＝＋单调递减，∵f(3)＝，f(4)＝，f(5)＝，∴n的最大值为4.5