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五年高考2022届高考数学复习第六章第二节等差数列及其前n项和文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第六章第二节等差数列及其前n项和文全国通用
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第二节 等差数列及其前n项和考点一 等差数列的概念及性质1.(2022·重庆,2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )A.5B.8C.10D.14解析 由等差数列的性质得a1+a7=a3+a5,因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8,选B.答案 B2.(2022·重庆,1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( )A.12B.14C.16D.18解析 设an=a1+(n-1)d,则由解得所以a10=a1+9d=18.故选D.答案 D3.(2022·安徽,13)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.解析 由已知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列.∴S9=9×1+×=9+18=27.答案 274.(2022·陕西,13)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________解析 由题意设首项为a1,则a1+2015=2×1010=2020,∴a1=5.答案 55.(2022·上海,1)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=________.解析 a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30,a2+a3=15.答案 156.(2022·重庆,12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________.解析 设公差为d,则d==,所以c-a=2d=.答案 8\n7.(2022·北京,10)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=________;Sn=________.解析 设公差为d,则由a1=,S2=a3,得d=,a2=1,所以Sn=na1+·d=n+=.故填1,.答案 1 8.(2022·大纲全国,17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.(1)证明 由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是(ak+1-ak)=(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.9.(2022·浙江,19)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.解 (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)·(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.8\n由m,k∈N*知2m+k-1>k+1>1,故所以10.(2022·新课标全国Ⅰ,17)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解 (1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知==(-),从而数列{}的前n项和为=.11.(2022·大纲全国,17)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由得解得a1=1,d=.∴{an}的通项公式为an=.(2)∵bn===-,∴Sn=++…+=.12.(2022·浙江,19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;8\n(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解 (1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4,∴an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,∵d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110,综上所述:|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=考点二 等差数列的前n项和1.(2022·新课标全国Ⅰ,7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )A.B.C.10D.12解析 由S8=4S4知,a5+a6+a7+a8=3(a1+a2+a3+a4),又d=1,∴a1=,a10=+9×1=.答案 B2.(2022·新课标全国Ⅱ,5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.11解析 ∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,∴a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,∴S5==5a3=5.故选A.答案 A3.(2022·天津,5)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )8\nA.2B.-2C.D.-解析 由S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6成等比数列可得(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅱ,5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析 因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+d=n(n+1).故选A.答案 A5.(2022·安徽,7)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于( )A.-6B.-4C.-2D.2解析 由S8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以a7=d=-2.所以a9=a7+2d=-2-4=-6.答案 A6.(2022·福建,11)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于( )A.1006B.2012C.503D.0解析 T==4,且cos+2cosπ+3cos+4cos2π=2,所以S2012=×2=1006.故选A.答案 A7.(2022·大纲全国,6)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于( )A.8B.7C.6D.5解析 ∵Sk+2-Sk=24,∴ak+1+ak+2=24,∴a1+kd+a1+(k+1)·d=24,∴2a1+(2k+1)d=24,∴2×1+(2k+1)×2=24.解得k=5.8\n答案 D8.(2022·江西,13)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.解析 由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得即解得-1<d<-.答案 9.(2022·天津,11)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.解析 由16=a3=a1+2d,20=S20=20a1+d,即a1+d=1,解得a1=20,d=-2,所以S10=10a1+d=200-90=110,故填110.答案 11010.(2022·重庆,16)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解 (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).11.(2022·新课标全国Ⅱ,17)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;8\n(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解 (1)设{an}的公差为d.由题意,a=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.12.(2022·福建,17)已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.解 (1)∵数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,∴a=1×(a1+2),即a-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)∵数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,∴5a1+10>a+8a1,即a+3a1-10<0,解得-5<a1<2,故a1的取值范围为(-5,2).13.(2022·福建,17)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.(1)求an和bn;(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.解 (1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,依题意得S10=10+d=55,b4=q3=8,解得d=1,q=2.8\n所以an=n,bn=2n-1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2),故所求的概率P=.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:59:32
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