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五年高考2022届高考数学复习第四章第四节解三角形文全国通用

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考点一 正弦定理、余弦定理的应用1.(2022·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=,且b<c,则b=(  )A.B.2C.2D.解析 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-2×b×2×,即b2-6b+8=0,∴b=4或b=2,又b<c,∴b=2.答案 C2.(2022·北京,5)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB等于(  )A.B.C.D.1解析 根据正弦定理,=,则sinB=sinA=·=,故选B.答案 B3.(2022·湖南,5)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于(  )A.B.C.D.解析 由正弦定理=.又2asinB=b,即=.则有=,可得sinA=,由于△ABC是锐角三角形,故A=.答案 A4.(2022·山东,7)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c等于(  )A.2B.2C.D.1解析 由正弦定理得:=,15\n即=,所以cosA=,又A∈(0,π),所以A=,B=,C=,c==2.答案 B5.(2022·安徽,9)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C等于(  )A.B.C.D.解析 由3sinA=5sinB,得b=a.又b+c=2a,所以c=2a-b=a.由余弦定理可得cosC==-,C∈(0,π),所以C=.答案 B6.(2022·湖南,8)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于(  )A.B.C.D.解析 如图,在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即7=AB2+4-2×2AB×,AB2-2AB-3=0,∴AB=3或AB=-1(舍去),则BC边上的高AD=ABsinB=3×sin60°=.答案 B7.(2022·北京,11)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=________.15\n解析 由正弦定理得sin∠B===,因为∠A为钝角,所以∠B=.答案 8.(2022·重庆,13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.解析 由3sinA=2sinB,得3a=2b,∴b=a=×2=3,在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=16,解得c=4.答案 49.(2022·安徽,12)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.解析 由已知∠C=60°,由正弦定理得=,∴AC===2.答案 210.(2022·湖北,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=________.解析 由正弦定理=得sinB==,又B∈,所以B=或.答案 或11.(2022·福建,14)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于________.解析 在△ABC中,根据正弦定理,得=,所以=,解得sinB=1,因为B∈(0,π),所以B=,所以AB==1.答案 112.(2022·北京,12)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=________;sinA=________.15\n解析 根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×=4,故c=2,因为cosC=,于是sinC==,于是,由正弦定理,sinA===(或:由a=1,b=2,c=2,得cosA==,于是,sinA==).答案 2 13.(2022·北京,11)在△ABC中,若a=3,b=,A=,则C的大小为________.解析 由正弦定理得=,即=,∴sinB=.又a>b,∴A>B,∴B=.又A+B+C=π,∴C=.答案 14.(2022·福建,13)在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC=,则AC=________.解析 由正弦定理知=,代入数据得=,∴AC=.答案 15.(2022·北京,9)在△ABC中,若b=5,B=,sinA=,则a=________.解析 由正弦定理=,得a==.故填.答案 16.(2022·江苏,15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×=7,所以BC=15\n.(2)由正弦定理知,=,所以sinC=·sinA==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinC·cosC=2××=.17.(2022·新课标全国Ⅰ,17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.解 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB==.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=.所以△ABC的面积为1.18.(2022·重庆,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cosC的值;(2)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.解 (1)由题意可知:c=8-(a+b)=.由余弦定理得:cosC=15\n==-.(2)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得:sinA·+sinB·=2sinC,化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知:a+b=3c.又因a+b+c=8,故a+b=6.由于S=absinC=sinC,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.19.(2022·山东,17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解 (1)在△ABC中,由题意知sinA==,又因为B=A+,所以sinB=sin=cosA=.由正弦定理可得b===3.(2)由B=A+得cosB=cos=-sinA=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)15\n=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.因此△ABC的面积S=absinC=×3×3×=.20.(2022·陕西,16)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.(1)证明 ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)解 由题设有b2=ac,c=2a,∴b=a,由余弦定理得cosB===.21.(2022·天津,16)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA=3csinB,a=3,cosB=.求:(1)b的值;(2)sin的值.解 (1)在△ABC中,由=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accosB,cosB=,可得b=.(2)由cosB=,得sinB=,进而得cos2B=2cos2B-1=-,sin2B=2sinBcosB=.15\n所以sin=sin2Bcos-cos2Bsin=.22.(2022·浙江,18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解 (1)由bsinA=acosB及正弦定理=,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.(2)由sinC=2sinA及=,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.考点二 解三角形及其应用1.(2022·四川,8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于(  )A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m解析 ∵tan15°=tan(60°-45°)==2-,∴BC=60tan60°-60tan15°=120(-1)(m),故选C.答案 C2.(2022·新课标全国Ⅱ,4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为(  )A.2+2B.+115\nC.2-2D.-1解析 由正弦定理=及已知条件得c=2.又sinA=sin(B+C)=×+×=,∴S△ABC=×2×2×=+1,故选B.答案 B3.(2022·新课标全国Ⅰ,10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于(  )A.10B.9C.8D.5解析 由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cosA=.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0,解得b=-(舍)或b=5,故选D.答案 D4.(2022·四川,8)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是(  )A.B.C.D.解析 由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得cosA=≥.又0<A<π,所以0<A≤.故选C.答案 C5.(2022·湖北,15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.15\n解析 依题意,在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=45°,由正弦定理得=,得BC=300,在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=100(m).答案 1006.(2022·新课标全国Ⅰ,16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=________m.解析 在三角形ABC中,AC=100,在三角形MAC中,=,解得MA=100,在三角形MNA中,=sin60°=,故MN=150,即山高MN为150m.答案 1507.(2022·上海,5)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是________.解析 由a2+ab+b2-c2=0可得a2+b2-c2=-ab;由余弦定理得cosC==-,所以C=.答案 8.(2022·陕西,13)在△ABC中,角A、B、C所对应的边的长分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b=________.解析 由余弦定理,得b2=22+(2)2-2×2×2cos=4+12-12=4,所以b=2.故填2.15\n答案 29.(2022·新课标全国Ⅱ,17)在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解 (1)由正弦定理得=,=.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以==.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.10.(2022·天津,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-.(1)求a和sinC的值;(2)求cos的值.解 (1)在△ABC中,由cosA=-,可得sinA=.由S△ABC=bcsinA=3,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8.由=,得sinC=.(2)cos=cos2A·cos-sin2A·sin=15\n(2cos2A-1)-×2sinA·cosA=.11.(2022·山东,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.解 在△ABC中,由cosB=,得sinB=,因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=.因为sinC<sinB,所以C<B,可知C为锐角.所以cosC=.因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.由=,可得a===2c,又ac=2,所以c=1.12.(2022·湖南,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(1)证明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.解 (1)由正弦定理知===2R,∴a=2RsinA,b=2RsinB,代入a=btanA得:∴sinA=sinB·,又∵A∈(0,π),∴sinA>0,15\n∴1=,即sinB=cosA.(2)由sinC-sinAcosB=知,sin(A+B)-sinAcosB=,∴cosAsinB=.由(1)知,sinB=cosA,∴cos2A=,由于B是钝角,故A∈,∴cosA=,A=.sinB=,B=,∴C=π-(A+B)=.13.(2022·浙江,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解 (1)由tan=2,得tanA=.所以==.(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.15\n由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=,设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.14.(2022·湖南,19)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解 如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0.解得CD=2(CD=-3舍去).在△CDE中,由正弦定理,得=,于是,sinα===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cosα===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscosα+sinsinα=-cosα+sinα15\n=-·+·=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.15

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文章作者:U-336598

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