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京津专用2022高考数学总复习优编增分练80分解答题标准练二理
京津专用2022高考数学总复习优编增分练80分解答题标准练二理
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[80分]解答题标准练(二)1.(2022·威海模拟)在△ABC中,边BC上一点D满足AB⊥AD,AD=DC.(1)若BD=2DC=2,求边AC的长;(2)若AB=AC,求sinB.解 (1)∵AB⊥AD,∴在Rt△ABD中,sin∠ABD==,∴∠ABD=60°,AB=1.在△ABC中,AB=1,BC=3,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=1+9-2×1×3×=7,∴AC=.(2)在△ACD中,由正弦定理可得=,∵AD=DC,∴=,∵AB=AC,∴B=C,∴∠BAC=180°-2B,∵∠BAD=90°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=180°-2B-90°=90°-2B,10\n∴=,∴=,化简得2sin2B+sinB-=0,即(sinB-1)(2sinB+)=0,∵sinB>0,∴sinB=.2.(2022·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠B1C1A1=90°,异面直线AB1⊥A1C,且AA1=AC.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面A1B1C1;(2)若AC1=AA1=B1C1,求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值.(1)证明 因为AA1=AC,所以四边形ACC1A1是菱形,所以A1C⊥AC1,又因为异面直线AB1⊥A1C,AC1∩AB1=A,AB1,AC1⊂平面AB1C1,所以A1C⊥平面AB1C1,又B1C1⊂平面AB1C1,所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1=90°,即B1C1⊥A1C1,且A1C1∩A1C=A1,A1C,A1C1⊂平面ACC1A1,所以B1C1⊥平面ACC1A1,又B1C1⊂平面A1B1C1,所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解 设O是A1C1的中点,因为AC1=AA1,所以AO⊥A1C1,由(1)可知,AO⊥平面A1B1C1,10\n以O为坐标原点,过点O且与C1B1平行的直线为x轴,以OC1所在直线为y轴,以OA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,设AA1=2,则A(0,0,),A1(0,-1,0),C1(0,1,0),B1(2,1,0),设A1C1与平面ABB1A1所成的角为θ,因为=(0,2,0),=(2,2,0),=(0,1,),设平面ABB1A1的一个法向量是n=(x,y,z),则即不妨令x=1,则y=-1,z=,可得n=,所以sinθ=|cos〈,n〉|==,所以直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.3.(2022·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100]内,分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图).(1)填写下面的2×2列联表,判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?10\n文科生理科生总计获奖5不获奖总计200(2)将上述调査所得的频率视为概率,现从该校参与竞赛的学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为X,求X的分布列及期望.附表及公式:K2=,n=a+b+c+d.其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解 (1)文科生理科生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200K2==≈4.167>3.841,所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”.(2)由表中数据可知,将频率视为概率,从该校参赛学生中任意抽取一人,抽到获奖同学的概率为.X的所有可能的取值为0,1,2,3,且X~B.P(X=k)=C×k×3-k(k=0,1,2,3).P(X=0)=C×0×3-0=,P(X=1)=C×1×3-1=,P(X=2)=C×2×1=,10\nP(X=3)=C×3×0=,所以X的分布列为X0123PE(X)=3×=.4.(2022·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为,过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段MN长度的最小值为.(1)求椭圆C的方程;(2)B是椭圆C上异于顶点的一点,且直线OB⊥l,D是线段OB延长线上一点,且|DB|=|MN|,⊙D的半径为|DB|,OP,OQ是⊙D的两条切线,切点分别为P,Q,求∠POQ的最大值,并求出取得最大值时直线l的斜率.解 (1)由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,解得a=2c,设椭圆C的方程为+=1,当直线l的斜率不存在时,线段MN的长为2c;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+c,由得(4k2+3)x2+8kcx-8c2=0,Δ=(8kc)2+32c2(4k2+3)>0,从而|MN|=·==2c·=2c·<2c,10\n易知当k=0时,|MN|的最小值为c,从而c=1,因此,椭圆C的方程为+=1.(2)由B是椭圆上异于顶点的一点且直线OB⊥l,可知l的斜率存在且不为0.由(1)知,|MN|=,而⊙D的半径r=|MN|,又直线OB的方程为y=-x,由得x=,因此|OB|=·|xB|=,由题意可知sin==,要求∠POQ的最大值,即求的最小值.而==·=,令u=4k2+3,10\n则u>3,∈,因此===≥1,当且仅当=2,即u=时等号成立,此时k=±,所以sin≤,因此≤,所以∠POQ的最大值为.综上所述,∠POQ的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k=±.5.(2022·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)=(x>0,a∈R).(1)当a>-时,判断函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点时,若f(x)的极大值小于整数m,求m的最小值.解 (1)由题意知,f′(x)==(x>0).令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a(x>0),则h′(x)=(-x2+x)ex,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)为增函数;当x>1时,h′(x)<0,h(x)为减函数.故h(x)在x=1处取得极大值,也为最大值.则h(x)max=h(1)=-e-a.由于a>-,所以h(x)max=h(1)=-e-a<0,所以f′(x)<0,10\n于是f(x)为(0,+∞)上的减函数.(2)令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a(x>0),则h′(x)=(-x2+x)ex,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)为增函数;当x>1时,h′(x)<0,h(x)为减函数.当x趋近于+∞时,h(x)趋近于-∞.由于f(x)有两个极值点,所以f′(x)=0有两个不等实根,即h(x)=(-x2+3x-3)ex-a=0有两不等实根x1,x2(x1<x2).则解得-3<a<-e.可知x1∈(0,1),由于h(1)=-e-a>0,h=-e-a<-e+3<0,则x2∈.而f′(x2)==0,即ex2=,①所以f(x)极大值=f(x2)=,于是f(x2)=,②令t=x2-2,则x2=t+2,则②可变为g(t)=a=a,可得-1<<-,而-3<a<-e,则有g(t)=a=a<3,下面再说明对于任意-3<a<-e,x2∈,f(x2)>2.又由①得a=(-x+3x2-3),10\n把它代入②得f(x2)=(2-x2),所以当x2∈时,f′(x2)=(1-x2)<0恒成立,故f(x2)=(2-x2)为上的减函数,所以f(x2)>f=>2.所以满足题意的整数m的最小值为3.6.在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1.(1)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.(1)证明 ∵Sn+1=4an+2,①∴当n≥2,n∈N*时,Sn=4an-1+2.②①-②得an+1=4an-4an-1.方法一 对an+1=4an-4an-1两边同除以2n+1,得=2-,即+=2,即cn+1+cn-1=2cn,∴数列{cn}是等差数列.由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,则a2=3a1+2=5,∴c1==,c2==,故公差d=-=,∴{cn}是以为首项,为公差的等差数列.方法二 ∵an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),令bn=an+1-2an,则{bn}是以a2-2a1=4a1+2-a1-2a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴bn=3·2n-1,10\n∵cn=,∴cn+1-cn=-====,c1==,∴{cn}是以为首项,为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知数列是首项为,公差为的等差数列,∴=+(n-1)=n-,an=(3n-1)·2n-2是数列{an}的通项公式.设Sn=(3-1)·2-1+(3×2-1)·20+…+(3n-1)·2n-2,则2Sn=(3-1)·20+(3×2-1)·21+…+(3n-1)·2n-1,∴Sn=2Sn-Sn=-(3-1)·2-1-3(20+21+…+2n-2)+(3n-1)·2n-1=-1-3×+(3n-1)·2n-1=-1+3+(3n-4)·2n-1=2+(3n-4)·2n-1.∴数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-2,前n项和公式为Sn=2+(3n-4)·2n-1,n∈N*.10
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:58:34
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