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京津专用2022高考数学总复习优编增分练:解答题标准练二文
京津专用2022高考数学总复习优编增分练:解答题标准练二文
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解答题标准练(二)1.(2022·济南模拟)在△ABC中,AC=BC=2,AB=2,=.(1)求BM的长;(2)设D是平面ABC内一动点,且满足∠BDM=,求BD+MD的取值范围.解 (1)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC.代入数据得cosC=-.∵=,∴CM=MA=AC=1.在△CBM中,由余弦定理知,BM2=CM2+CB2-2CM·CB·cosC,代入数据得BM=.(2)设∠DBM=θ,则∠DMB=-θ,θ∈.在△BDM中,由正弦定理知,===,∴BD=sin,MD=sinθ,8\n∴BD+MD=sin+sinθ==cosθ.又θ∈,∴cosθ∈,∴BD+MD的取值范围为.2.(2022·合肥模拟)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在[195,210)内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.表1:甲流水线样本的频数分布表:质量指标值频数[190,195)2[195,200)13[200,205)23[205,210)8[210,215]4(1)若将频率视为概率,某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品,则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?(2)在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件,求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率;(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”?甲流水线乙流水线总计合格品8\n不合格品总计附:K2=(其中n=a+b+c+d).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由甲、乙两条流水线各抽取50件产品可知,甲流水线生产的不合格品有6件,则甲流水线生产的产品为不合格品的概率P甲==.乙流水线生产的产品为不合格品的概率P乙=(0.016+0.032)×5=.于是,若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品,则甲、乙两条流水线生产的不合格品分别为60000×=7200(件),60000×=14400(件).(2)在甲流水线抽取的样本中,不合格品共有6件,其中质量指标值偏小的有2件,记为A,B;质量指标值偏大的有4件,记为C,D,E,F,则从中任选2件有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种结果,其中质量指标值都偏大有6种结果,故所求概率P==.(3)2×2列联表如下:甲流水线乙流水线总计合格品443882不合格品61218总计50501008\n则K2=≈2.439<2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.3.(2022·潍坊模拟)如图所示五面体ABCDEF,四边形ACFD是等腰梯形,AD∥FC,∠DAC=,BC⊥平面ACFD,CA=CB=CF=1,AD=2CF,点G为AC的中点.(1)在AD上是否存在一点H,使GH∥平面BCD?若存在,指出点H的位置并给出证明;若不存在,请说明理由;(2)求三棱锥G-ECD的体积.解 (1)存在点H,H为AD的中点.证明如下:连接GH,在△ACD中,由三角形中位线定理可知GH∥CD,又GH⊄平面BCD,CD⊂平面BCD,∴GH∥平面BCD.(2)由题意知AD∥CF,AD⊂平面ADEB,CF⊄平面ADEB,∴CF∥平面ADEB,又CF⊂平面CFEB,平面CFEB∩平面ADEB=BE,∴CF∥BE,∴VG-ECD=VE-GCD=VB-GCD,∵四边形ACFD是等腰梯形,∠DAC=,∴∠ACD=.又∵CA=CB=CF=1,AD=2CF,∴CD=,CG=.又BC⊥平面ACFD,∴VB-GCD=×CG×CD×BC8\n=××××1=,∴三棱锥G-ECD的体积为.4.(2022·厦门质检)过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与E交于A,B两点,直线l2与E交于C,D两点.当直线l1的斜率为0时,|AB|=4,|CD|=2.(1)求椭圆E的方程;(2)求四边形ABCD面积的取值范围.解 (1)由已知得a==2,将x=c代入+=1,得y=±,所以|CD|===2,所以b2=4,所以椭圆E的方程为+=1.(2)①当直线l1,l2其中一条的斜率为0,另一条的斜率不存在时,S四边形ACBD=|AB|·|CD|=×4×2=8.②当两条直线的斜率均存在时,设直线AB的方程为x=my+2,则直线CD的方程为x=-y+2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+4my-4=0,Δ=16m2+16(m2+2)=32(m2+1),|y1-y2|==,|AB|=|y1-y2|=,8\n(或y1+y2=,y1y2=,|AB|==)用-取代m,得|CD|==,∴S四边形ACBD=|AB|·|CD|=××=16×=8×=8-,又2m2+≥4,当且仅当m=±1时取等号,所以2m2+∈,所以S四边形ACBD=8-∈.综上,四边形ACBD面积的取值范围是.5.(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=(a,b∈R,且a≠0,e为自然对数的底数).(1)若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实数a的取值范围;(2)当a=b=1时,证明:xf(x)+2<0.(1)解 因为f(x)=(x>0),所以f′(x)=,因为f′(e)=0,所以b=0,则f′(x)=,当a>0时,f′(x)在(0,e)内大于0,在(e,+∞)内小于0,f(x)在(0,e)内为增函数,在(e,+∞)内为减函数,即f(x)有极大值而无极小值;当a<0时,f(x)在(0,e)内为减函数,在(e,+∞)内为增函数,即f(x)有极小值而无极大值.8\n所以a的取值范围为(-∞,0).(2)证明 当a=b=1时,设g(x)=xf(x)+2=lnx-ex+2(x>0),g′(x)=-ex在区间(0,+∞)上为减函数,因为g′(1)=1-e<0,g′=2->0,所以存在实数x0∈,使得g′(x0)=-=0,此时g(x)在区间(0,x0)上为增函数,在区间(x0,+∞)上为减函数,因为g′(x0)=-=0,所以=,x0=-lnx0.由单调性知,g(x)max=g(x0)=lnx0-+2=-+2,因为x0∈,所以-<-2.所以g(x)max<0,即xf(x)+2<0.6.在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1.(1)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.(1)证明 ∵Sn+1=4an+2,①∴当n≥2,n∈N*时,Sn=4an-1+2.②①-②得an+1=4an-4an-1.方法一 对an+1=4an-4an-1两边同除以2n+1,得=2-,即+=2,即cn+1+cn-1=2cn,∴数列{cn}是等差数列.8\n由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,则a2=3a1+2=5,∴c1==,c2==,故公差d=-=,∴{cn}是以为首项,为公差的等差数列.方法二 ∵an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),令bn=an+1-2an,则{bn}是以a2-2a1=4a1+2-a1-2a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴bn=3·2n-1,∵cn=,∴cn+1-cn=-====,c1==,∴{cn}是以为首项,为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知数列是首项为,公差为的等差数列,∴=+(n-1)=n-,an=(3n-1)·2n-2是数列{an}的通项公式.设Sn=(3-1)·2-1+(3×2-1)·20+…+(3n-1)·2n-2,则2Sn=(3-1)·20+(3×2-1)·21+…+(3n-1)·2n-1,∴Sn=2Sn-Sn=-(3-1)·2-1-3(20+21+…+2n-2)+(3n-1)·2n-1=-1-3×+(3n-1)·2n-1=-1+3+(3n-4)·2n-1=2+(3n-4)·2n-1.∴数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-2,前n项和公式为Sn=2+(3n-4)·2n-1,n∈N*.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:58:17
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