京津专用2022高考数学总复习优编增分练:8+6分项练1集合与常用逻辑用语理
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8+6分项练1 集合与常用逻辑用语1.(2022·烟台适应性考试)集合A={x∈N|log2x≤1},集合B={x∈Z|x2≤5},则A∩B等于( )A.{2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.∅答案 B解析 由题意得A={x∈N|0<x≤2}={1,2},B={x∈Z|-≤x≤}={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.(2022·湛江模拟)设θ∈R,则“<”是“sinθ<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 求解绝对值不等式<,可得0<θ<,若sinθ<,则2kπ-<θ<2kπ+(k∈Z),当k=0时,-<θ<,据此可得“<”是“sinθ<”的充分不必要条件.3.已知集合A={x|y=,x∈R},B=,则A∩B等于( )A.[-1,2]B.(0,2]C.[1,2]D.[1,e]答案 B解析 求解函数y=的定义域可得A=,求解对数不等式lnx<1,可得B=,结合交集的定义可得A∩B=,6\n表示为区间形式即(0,2].4.下列命题中,假命题是( )A.∀x∈R,ex>0B.∃x0∈R,>xC.a+b=0的充要条件是=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件答案 C解析 对于A,根据指数函数y=ex的性质可知,ex>0总成立,故A正确;对于B,取x0=1,则21>12,故B正确;对于C,若a=b=0,则无意义,故C错误,为假命题;对于D,根据不等式的性质可得当a>1,b>1时,必有ab>1,但反之不成立,故D正确.5.集合A={x|2x2-3x≤0,x∈Z},B={x|1≤2x<32,x∈Z},集合C满足A⊆C⊆B,则集合C的个数为( )A.3B.4C.7D.8答案 D解析 由题意可得A={0,1},B={0,1,2,3,4},集合C=A∪M,其中M为集合{2,3,4}的子集,由子集个数公式可得,C的个数为23=8.故选D.6.(2022·山西省榆社中学模拟)设集合A={x|x2-6x-7<0},B={x|x≥a},现有下面四个命题:p1:∃a∈R,A∩B=∅;p2:若a=0,则A∪B=(-7,+∞);p3:若∁RB=(-∞,2),则a∈A;p4:若a≤-1,则A⊆B.其中所有的真命题为( )A.p1,p4B.p1,p3,p4C.p2,p3D.p1,p2,p4答案 B6\n解析 由题意可得A=,则当a≥7时,A∩B=∅,所以命题p1正确;当a=0时,B=[0,+∞),则A∪B=(-1,+∞),所以命题p2错误;若∁RB=,则a=2∈A,所以命题p3正确;当a≤-1时,A⊆B成立,所以命题p4正确.7.(2022·衡水金卷调研卷)已知a>0,命题p:函数f(x)=lg的值域为R,命题q:函数g(x)=x+在区间(1,+∞)内单调递增.若(綈p)∧q是真命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.C.D.答案 D解析 由题意,函数f(x)=lg的值域为R,a>0,故Δ=4-12a≥0,解得a≤,故0<a≤,即p:0<a≤;若a>0,g(x)=x+在区间(1,+∞)内单调递增,即g′(x)=1-≥0在区间(1,+∞)内恒成立,即a≤x2在区间(1,+∞)内恒成立,解得0<a≤1,因为(綈p)∧q是真命题,所以p为假命题,q为真命题,即得<a≤1,故选D.8.(2022·河北衡水中学模拟)下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”B.命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是真命题C.命题“∃x0∈R,使得2x-1<0”的否定是“∀x∈R,都有2x2-1<0”D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题答案 B解析 “若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,A错误;“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,B正确;“∃x0∈R,使得2x-1<0”的否定是“∀x∈R,都有2x2-1≥0”,C错误;“若cosx=cosy,则x=y”为假命题,所以其逆否命题也为假命题,D错误,故选B.6\n9.(2022·三明质检)已知集合A=,B=,A∩B=________.答案 (2,3)解析 由B中不等式变形得(x+4)(x-2)>0,解得x<-4或x>2,即B={x|x<-4或x>2},则A∩B=(2,3).10.(2022·辽宁省辽南协作校模拟)已知D={(x,y)||x|+|y|≤1},给出下列四个命题:p1:∃(x0,y0)∈D,x0+y0≥0;p2:∀(x,y)∈D,x-y+1≤0;p3:∀(x,y)∈D,≤;p4:∃(x0,y0)∈D,x+y≥2;其中真命题是________.答案 p1,p3解析 不等式组|x|+|y|≤1的可行域如图阴影部分(含边界)所示.对于p1,A(1,0)点,1+0=1≥0,故∃(x0,y0)∈D,x0+y0≥0为真命题;对于p2,A(1,0)点,1-0+1=2>0,故p2为假命题;对于p3,表示的意义为点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图可得的取值范围为,故p3为真命题;对于p4,x2+y2表示的意义为点(x,y)到原点的距离的平方,由图可得x2+y2≤1,故p4为假命题.11.若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是________.答案 (2,+∞)解析 即“∃x0∈(0,+∞),x0+<m”为真命题,所以m>min=2,当且仅当x=1时,x+取得最小值2.∴m的取值范围是(2,+∞).6\n12.(2022·湖北省咸宁市高三重点高中联考)若“1<x<3”是“lga+lgx<lg”的充分不必要条件,则正数a的取值范围是________.答案 解析 由题意知(1,3)是lga+lgx<lg的真子集,则即x<a.①当2a-1=0时,a=,符合题意;②当2a-1<0时,0<a<,符合题意;③当2a-1>0时,a>,0<x<.由得<a≤,综上所述,正数a的取值范围是.13.(2022·上海普陀区调研)设集合M=,N=,若N⊆M,则实数m的取值范围是________.答案 (-1,0)解析 ∵M==(0,+∞),N⊆M,∴y=(x-1)+(x-2)在[1,2]上恒为正,设f(x)=(x-1)+(x-2),则即得即-1<m<0,实数m的取值范围是(-1,0).14.已知M是集合(k∈N*,k≥2)的非空子集,且当x∈M时,有2k-x∈M.记满足条件的集合M的个数为f(k),则f(2)=________;f(k)=________.答案 3 2k-1解析 将1,2,…,2k-1分为k组,1和2k-1,2和2k-2,……,k-1和k+1,k单独一组,每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M,每组属于或不属于M,共两种情况,所以M的可能性有2k,排除一个空集,6\n则可能性为2k-1,即f(k)=2k-1,f(2)=3,故f(2)=3,f(k)=2k-1.6
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