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全国通用2022高考数学二轮复习专题几何证明选讲训练文选修4_1

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【创新设计】(全国通用)2022高考数学二轮复习专题几何证明选讲训练文(选修4-1)1.(2022·陕西卷)如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.(1)证明 因为DE为⊙O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED,又AB切⊙O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)解 由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3,所以AC==4,所以AD=3,由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即⊙O直径为3.2.(2022·全国Ⅰ卷)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.(1)证明 连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连接OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是⊙O的切线.(2)解 设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,3\n即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.3.(2022·全国Ⅱ卷)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.(1)证明 由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解 由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为⊙O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为××-×(2)2×=.4.如图所示,⊙O的直径为AB,AD平分∠BAC,AD交⊙O于点D,BC∥DE,且DE交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AB=10,AC=6,求DF的长.(1)证明 如图所示,连接OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC,所以OD∥AE,又BC⊥AC且BC∥DE,所以DE⊥AC,故DE⊥OD,又OD为半径,所以DE是⊙O的切线.(2)解 过点D作DH⊥AB于H,则有∠DOH=∠CAB,3\n又AB为⊙O的直径,则∠ACB=90°,则cos∠DOH=cos∠CAB===.因为OD=5,所以OH=3,DH=4,AD=4,由角平分线的性质知AE=AH=8,又由△AEF∽△DOF可得==,所以DF==.5.如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB.证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)如图,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FG∥BC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.∴∠BGD=∠BDG,由BC=CD知,∠CBD=∠CDB.又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.3

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发布时间:2022-08-25 23:52:22 页数:3
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文章作者:U-336598

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