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广东省高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 文
广东省高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 文
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选修4—1 几何证明选讲真题试做1.(2012·广东高考,文15)如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=__________.2.(2012·天津高考,文13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.3.(2012·陕西高考,文15B)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=______.考向分析从近几年的高考情况看,本部分内容主要有两大考点,一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理;二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.在高考中常以圆为背景,主要考查最基本、最重要的内容,试题多以填空题、解答题的形式呈现,试题难度属中低档.预计在今后高考中,几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容,如相似三角形,圆的切线、弦切角,圆内接四边形的性质与判定,与圆有关的比例线段等,试题难度中等.另外,对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查,也应引起足够的重视.热点例析热点一 相似三角形问题【例1】如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=_________.规律方法在求线段的长度或计算比例线段的比值时,应注意的问题:(1)首先应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形;(2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件;(3)如果条件不能直接找出时,可巧添辅助线;-6-\n(4)有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决.变式训练1(2012·广东肇庆期末统考,理14)如图,PAB,PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD等于__________.热点二 有关圆的切线、弦切角问题【例2】如图所示,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=__________.规律方法与圆的切线有关的几何证明问题处理思路:(1)若两圆相切时,往往需要添加两圆的公切线,转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系;(2)在利用圆的切线、弦切角解题时,应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系.变式训练2如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为__________.热点三 圆内接四边形的判定与性质【例3】如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3,则的值为____________.规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路:(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质,在近几年高考中常有考查,处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系,同边所形成的弦、角的等量关系,以及外角与其内对角的相等关系等.(2)通常情况下把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题,然后再利用题设条件来解决问题.(3)值得注意的有,在平面几何中求角的大小,经常考虑借助三角形内角和定理及其推论;在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成.变式训练3如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B,C是切点,A,D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是__________.-6-\n热点四 有关与圆相关的比例线段问题【例4】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,PA是⊙O的切线,PB交AC于点E,交⊙O于点D,若PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8,则BC=__________.规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路:解决与圆有关的比例线段问题,常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析.当然,在解题过程中善于发现、构造相似三角形,寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节.变式训练4如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心,若PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O的半径为__________.1.如图,在ABCD中,N是AB延长线上一点,-的值等于( ).(第1题图)A.B.1C.D.2.如图,矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,则图中与△ABC相似的三角形有( ).(第2题图)A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2012·北京丰台3月模拟,12)如图所示,Rt△ABC内接于圆,∠ABC=60°,PA是圆的切线,A为切点,PB交AC于点E,交圆于点D.若PA=AE,PD=,BD=3,则AP=__________,AC=__________.4.(2012·湖北华中师大一附中5月模拟,15)如图所示,圆O的直径为6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则CD=__________.-6-\n5.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则=__________.(第5题图)6.(2012·广东江门一模,文14)如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径.若AB=6,AC=5,AD=4,则图中与∠BAE相等的角是__________,AE=__________.(第6题图)7.(2012·广东六校第四次联考,文15)如图,点M为⊙O的弦AB上的一点,连接MO.MN⊥OM,MN交圆于点N,若MA=2,MB=4,则MN=__________.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1. 解析:∵直线PB与圆相切于点B,且∠PBA=∠DBA,∴∠ACB=∠ABP=∠DBA,由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点,则由切割线定理得|AB|2=|AD|·|AC|=mn,即得|AB|=.2. 解析:在圆中,由相交弦定理:AF·FB=EF·FC,∴FC==2,由三角形相似,=,∴BD==.由切割弦定理:DB2=DC·DA,又DA=4CD,∴4DC2=DB2=.∴DC=.3.5 解析:由三角形相似可得DE2=DF·DB,连接AD,则DE2=AE·EB=1×5=5,所以DF·DB=5.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】4 解析:∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,-6-\n∴CD2=AD2-AC2=128,∴CD=8.又∵AE⊥BC,∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC.∴=,∴BE===4.【变式训练1】6 解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=-15(舍去).又∵PA·PB=PC·PD,=,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴===.故BD=3AC=6.【例2】 解析:根据圆的性质有∠PAB=∠ACB,而∠BAC=∠APB,故△PAB∽△ACB,故有=,将PB=7,BC=5代入解得AB=.【变式训练2】 解析:设BE=a,则AF=4a,FB=2a.∵AF·FB=DF·FC,∴8a2=2,∴a=,∴AF=2,FB=1,BE=,∴AE=.又∵CE为圆的切线,∴CE2=EB·EA=×=,∴CE=.【例3】 解析:∵∠P=∠P,∠A=∠PCB,∴△PCB∽△PAD.∴==.【变式训练3】99° 解析:如图,连接OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得∠BAD=∠BAC+∠CAD=(180°-∠E)+∠DCF=67°+32°=99°.【例4】2 解析:根据切割线定理,得PA2=PD·PB=9,故PA=3.又根据弦切角定义,可得∠PAC=∠ABC=60°,且PE=PA,故△PAE为等边三角形.所以BE=6,DE=2.根据相交弦定理,可得BE·DE=AE·CE,解得CE=4.在△BCE中用余弦定理,可解得BC=2.【变式训练4】2 解析:设圆的半径为R,由PA·PB=PC·PD得3×(3+4)=(5-R)(5+R),解得R=2.创新模拟·预测演练1.B 解析:∵AD∥BM,∴=.-6-\n又∵DC∥AN,∴=.∴=,∴=.∴-=-==1.2.C 解析:△CDA,△DEA,△CED都与△ABC相似.3.2 34.5.6.∠DAC 解析:连接BE.∵∠C=∠E,∠CDA=∠EBA=90°,∴△ABE∽△ADC.∴∠BAE=∠DAC.又∵=,∴AE==.7.2 解析:延长NM交⊙O于点C.∵OM⊥MN,∴MN=MC.又∵AM·MB=MN·MC,∴2×4=MN2,即MN=2.-6-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:52:55
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文章作者:U-336598
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