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全国通用2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题15圆锥曲线含解析

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【走向高考】(全国通用)2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题15圆锥曲线一、选择题1.(2022·四川文,7)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=(  )A.B.2C.6D.4[答案] D[解析] 由题意,a=1,b=,故c=2,渐近线方程为y=±x,将x=2代入渐近线方程,得y1,2=±2,故|AB|=4,选D.2.设P是椭圆+=1上一点,M、N分别是两圆:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值,最大值分别为(  )A.4,8   B.2,6   C.6,8   D.8,12[答案] A[解析] 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=6,连接PA,PB,分别与两圆相交于M、N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=4;连接PA,PB并延长,分别与两圆相交于M′、N′两点,此时|PM′|+|PN′|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=8,即最小值和最大值分别为4、8.[方法点拨] 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题,及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定义.3.(文)(2022·唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是(  )20\nA.y2=2axB.y2=4axC.y2=-2axD.y2=-4ax[答案] B[解析] 设抛物线方程为y2=mx,由焦点为F(a,0),a<0知m<0,∴=a,∴m=4a,故选B.(理)(2022·河北衡水中学一模)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·=-12,,那么抛物线C的方程为(  )A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x[答案] C[解析] 由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),得·=x1x2+y1y2=+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.[方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点在哪个轴上,然后利用条件求a、b、p的值.4.(文)(2022·南昌市一模)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线C的离心率为(  )A.2或B.2或C.D.2[答案] B[解析] (1)当双曲线的焦点在x轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以b=a,c==2a,故双曲线C的离心率e===2;(2)当双曲线的焦点在y轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b20\n>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以a=b,c==2b,故双曲线C的离心率e===.综上所述,双曲线C的离心率为2或.(理)(2022·东北三省三校二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a,则双曲线的离心率为(  )A.3B.2C.D.[答案] D[解析] 由已知得:O(0,0)到直线+=1的距离为:d=,由题意得:2+d2=r2即2+2=c2整理得:c4-a2c2+a4=0,即e4-e2+1=0,解得:e2=2或e2=(舍),∴e=.[方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是根据已知条件确定a、b、c的关系,然后将b用a、c代换,求e=的值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系.2.注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用.5.(文)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为(  )A.B.1C.D.[答案] C[解析] 由条件知,|AF2|+|BF2|=2|AB|,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4,∴|AB|=.(理)(2022·河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的倾斜角等于60°,那么|PF|等于(  )20\nA.2B.4C.D.4[答案] C[解析] 在△APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin60°=4,∴|AF|=,又∠PAF=∠PFA=30°,过P作PB⊥AF于B,则|PF|===.[方法点拨] 圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不等式等问题联系在一起,一般先利用条件转化为单一知识点的问题求解.6.(文)从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PFM的面积为(  )A.5B.6C.10D.5[答案] A[解析] 抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.设P(m,n),则|PM|=m+2=5,解得m=3.代入抛物线方程得n2=24,故|n|=2,则S△PFM=|PM|·|n|=×5×2=5.(理)若双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|(  )A.m2-a2B.-C.(m-a)D.m-a[答案] D[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,故|PF1|·|PF2|=m-a.7.(文)(2022·湖南文,6)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.20\n[答案] D[解析] 考查双曲线的几何性质.由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3,-4),得到a、b关系式,然后求出双曲线的离心率即可.因为双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),∴3b=4a,∴9(c2-a2)=16a2,∴e==,故选D.(理)(2022·重庆文,9)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )A.±B.±C.±1D.±[答案] C[解析] 考查双曲线的几何性质.由已知得右焦点F(c,0)(其中c2=a2+b2,c>0),A1(-a,0),A2(a,0);B(c,-),C(c,);从而A1B―→=(c+a,-),=(c-a,),又因为A1B⊥A2C,所以A1B―→·A2C―→=0,即(c-a)·(c+a)+(-)·()=0;化简得到=1⇒=±1,即双曲线的渐近线的斜率为±1;故选C.8.(2022·新课标Ⅰ理,5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(  )A.B.C.D.[答案] A[解析] 考查向量数量积;双曲线的标准方程.由题知F1(-,0),F2(,0),-y=1,所以MF1―→·MF2―→=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=x+y-3=3y-1<0,解得-<y0<,故选A.20\n二、填空题9.(文)已知直线y=a交抛物线y=x2于A、B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.[答案] a≥1[解析] 显然a>0,不妨设A(,a),B(-,a),C(x0,x),则=(--x0,a-x),=(-x0,a-x),∵∠ACB=90°.∴·=(-x0,a-x)·(--x0,a-x)=0.∴x-a+(a-x)2=0,且x-a≠0.∴(a-x)(a-x-1)=0,∴a-x-1=0.∴x=a-1,又x≥0.∴a≥1.(理)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,则=________.[答案] +1[解析] 由题可得C(,-a),F(+b,b),∵C、F在抛物线y2=2px上,∴∴=+1,故填+1.10.(文)(2022·湖南理,13)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为________.[答案] [解析] 考查双曲线的标准方程及其性质.根据对称性,不妨设F(c,0),短轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,∴20\n-=1⇒e==.(理)(2022·南昌市二模)过原点的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,·=0,则双曲线C的方程是________.[答案] -y2=1[解析] 由已知得:c=,FA⊥FB,设右焦点为F1,则四边形FAF1B为矩形,∴|AB|=2c=2且|FA|2+|FB|2=(|FA|+|FB|)2-2|FA|·|FB|=16-2|FA|·|FB|,|AB|2=|FA|2+|FB|2,∴|FA|·|FB|=2,∴(|FA|-|FB|)2=(|FA|+|FB|)2-4|FA|·|FB|=8,∴||FA|-|FB||=2,即||AF|-|AF1||=2,∴a=,∴b2=1,∴双曲线标准方程为-y2=1.三、解答题11.(文)(2022·湖南文,20)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(1)求C2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.[分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质和转化思想,设而不求、整体代换思想及运算求解能力等.(1)由F也是椭圆C2的一个焦点及C1与C2的公共弦长列方程组求解;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据=,可得,(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.[解析] (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1 ①;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y20\n,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),∴+=1②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2 ③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,由x1,x2是这个方程的两根,∴x1+x2=4k,x1x2=-4 ④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,x3+x4=-,x3x4=- ⑤将④、⑤代入③,得16(k2+1)=+.即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,20\n即直线l的斜率为±.(理)(2022·洛阳市期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,kOA·kOB=-,判断△AOB的面积是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.[解析] (1)由题意得c=1,又e==,所以a=2,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,由Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0得m2<3+4k2.∵x1+x2=-,x1·x2=,∴y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.由kOA·kOB=-=-得y1y2=-x1x2,即=-·,化简得2m2-4k2=3,满足Δ>0.由弦长公式得|AB|=|x1-x2|=·=.又点O到直线l:y=kx+m的距离d=,所以S△AOB=·d·|AB|=·====,20\n故△AOB的面积为定值.12.(文)(2022·东北三校二模)已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且·=-16,求证:直线AB恒过定点.[解析] (1)⊙O的圆心M(0,2),半径r=1,设动圆圆心P(x,y),由条件知|PM|-1等于P到l的距离,∴|PM|等于P到直线y=-2的距离,∴P点轨迹是以M(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线.方程为x2=8y.(2)设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2)将直线AB的方程代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8b,又因为·=x1x2+y1y2=x1x2+=-8b+b2=-16⇒b=4所以直线BC恒过定点(0,4).(理)(2022·山东理,21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(ⅰ)证明:直线AE过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由题意知F(,0),设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(,0).因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=|t-|,解得t=3+p或t=-3(舍去),由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.20\n(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|=|FD|,得|xD-1|=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=+=0,得b=-,设E(xE,yE),则yE=-,xE=.当y≠4时,kAE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由y=4x0,整理可得y=(x-1),故直线AE恒过点F(1,0).当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+(+1)=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1).20\n直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d===4(+).则△ABE的面积S=×4(+)(x0++2)≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.[方法点拨] 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x、y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.13.(文)(2022·甘肃省三诊)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOA·kOB=-,试判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.[解析] (1)由题意知e==,∴e2===,即a2=b2,20\n又b==,∴a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.x1+x2=-,x1·x2=.y1·y1=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.kOA·kOB=-,=-,y1y2=-x1x2,=-·2m2-4k2=3,|AB|===.d==≥=,S=|AB|d=====.[方法点拨] 定值问题的求解策略(1)在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通过取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数,或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值.(2)求解定值问题的三个步骤①由特例得出一个值,此值一般就是定值;②证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值;20\n③得出结论.(理)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.[解析] (1)因为e==,所以a=c,b=c.代入a+b=3得,c=,a=2,b=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±).①①代入+y2=1,解得P(,-).直线AD的方程为:y=x+1.②①与②联立解得M(,),由D(0,1),P(,-),N(x,0)三点共线知=,解得N(,0).所以MN的斜率为m===,20\n则2m-k=-k=(定值).(2)方法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k=,直线AD的方程为:y=(x+2).直线BP的方程为y=(x-2),直线DP的方程为:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N(,0).联立解得M(,),因此MN的斜率为m====,所以2m-k=-====(定值).14.(文)(2022·辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C交于M、N两点,线段MN的垂直平分线与y轴交点P,求△MON(O为坐标原点)面积的最大值.20\n[解析] (1)∵e=,∴a2=3c2=3a2-3b2,∴2a2=3b2将x=-c代入椭圆方程得:y2=,y=±,由题意:=,∴2a=b2,解得:a2=3,b2=2∴椭圆C的方程为:+=1(2)联立方程组:消去y整理得:(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0  ①∴Δ=36k2t2-4(3k2+2)·(3t2-6)=24(3k2+2-t2)>0,∴3k2+2>t2  ②设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解,由韦达定理得:x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=+2t=设MN的中点为G(x0,y0),则x0==,y0==∴线段MN的垂直平分线方程为:y-=-将P代入得:+=化简得:3k2+2=4t代入②式得:4t>t2,∴0<t<4|MN|=·=·=·=·设O到直线MN的距离为d,则d=∴S△NOM=·|MN|·d=···=·=·≤(当且仅当t=2,k=±时取“=”号)20\n∴△MON面积的最大值为,此时直线l的方程为:y=±x+2.(理)(2022·浙江理,19)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).[分析] 考查直线与椭圆的位置关系;点到直线的距离公式;求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想.(1)可设出直线AB的方程,与椭圆方程联立消元化为一元二次方程,由AB的中点在已知直线上知方程有两个不同的解,由此可得到关于m的不等式,从而求解;(2)令t=,可将△AOB表示为t的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而获解.[解析] (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b,由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0,∵直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,∴Δ=-2b2+2+>0,①,将AB中点M(,)代入直线方程y=mx+解得b=-,②.由①②得m<-或m>.(2)令t=∈(-,0)∪(0,),则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=,设△AOB的面积为S(t),∴S(t)=|AB|·d=20\n≤,当且仅当t2=时,等号成立,故△AOB面积的最大值为.15.(2022·福建理,19)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1、l2于A,B两点(A、B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.[解析] (1)∵双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,∴=2,∴=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C,当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,20\n又∵△OAB的面积为8,∴|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1,若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能是-=1.以下证明:当直线l与x轴不垂直时,双曲线E:-=1也满足条件,设直线l的方程为y=kx+m,依题意得k>2或k<-2,则C(-,0),记A(x1,y1)、B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得|-|·|-|=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4),由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,∵4-k2<0∴Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又∵m2=4(k2-4),∴Δ=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条件确定其形状,可用定义法或待定系数法求解;若动点P与另一动点Q有关,Q在已知曲线上运动,可用代入法求动点P的轨迹方程;否则用直译法求解.2.存在性问题主要体现在以下几方面:(1)点是否存在;20\n(2)曲线是否存在;(3)命题是否成立.解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素,经过推理论证,如果可以得到成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论,则说明假设不存在,其一般步骤为:20

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发布时间:2022-08-25 23:51:55 页数:20
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文章作者:U-336598

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