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全国通用版2022高考数学二轮复习70分解答题标准练一理
全国通用版2022高考数学二轮复习70分解答题标准练一理
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[70分]解答题标准练(一)1.(2022·郑州模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0,其前n项和为Sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Tn=++…+,证明:Tn<.(1)解 ∵数列{an}为等差数列,且a2+a8=22,∴a5=(a2+a8)=11.∵a4,a7,a12成等比数列,∴a=a4·a12,即(11+2d)2=(11-d)·(11+7d),又d≠0,∴d=2,∴a1=11-4×2=3,∴an=3+2(n-1)=2n+1(n∈N*).(2)证明 由(1)得,Sn==n(n+2),∴==,∴Tn=++…+===-<.∴Tn<.2.(2022·厦门质检)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=,BC=2AD=2,E为CD的中点,PB⊥AE.9\n(1)证明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为,求二面角B-PD-C的余弦值.(1)证明 由ABCD是直角梯形,AB=,BC=2AD=2,可得DC=2,BD=2,从而△BCD是等边三角形,∠BCD=,BD平分∠ADC,∵E为CD的中点,DE=AD=1,∴BD⊥AE.又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,又PB,BD⊂平面PBD,∴AE⊥平面PBD.∵AE⊂平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)解 方法一 作PO⊥BD于点O,连接OC,∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,PO⊂平面PBD,∴PO⊥平面ABCD,∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,∠PCO=,又∵PB=PD,∴O为BD的中点,OC⊥BD,OP=OC=,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),=(0,,-),=(-1,0,-).9\n设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),由得令z=1,则x=-,y=1,得n=(-,1,1).又平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0),设二面角B-PD-C的平面角为θ,则|cosθ|===,由图可知θ为锐角,∴所求二面角B-PD-C的余弦值是.方法二 作PO⊥BD于点O,连接OC,∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,PO⊂平面PBD,∴PO⊥平面ABCD,∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,∠PCO=,又∵PB=PD,∴O为BD的中点,OC⊥BD,OP=OC=,作OH⊥PD于点H,连接CH,则PD⊥平面CHO,又HC⊂平面CHO,则PD⊥HC,则∠CHO为所求二面角B-PD-C的平面角.由OP=,得OH=,∴CH=,∴cos∠CHO===.3.(2022·益阳模拟)某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A9\n水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位:千克),整理得下表:日需求量140150160170180190200频数51088775以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.(1)若该超市一天购进A水果150千克,记超市当天A水果获得的利润为X(单位:元),求X的分布列及期望;(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克,请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据,在150千克与160千克之中任选其一,应选哪一个?若受市场影响,剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,又该选哪一个?解 (1)若A水果日需求量为140千克,则X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680(元),且P(X=680)==0.1.若A水果日需求量不小于150千克,则X=150×(15-10)=750(元),且P(X=750)=1-0.1=0.9.故X的分布列为X680750P0.10.9E(X)=680×0.1+750×0.9=743.(2)设该超市一天购进A水果160千克,当天的利润为Y(单位:元),则Y的可能取值为140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,即660,730,800,则Y的分布列为Y660730800P0.10.20.7E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772.因为772>743,所以该超市应购进160千克A水果.9\n若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,同理可得X,Y的分布列分别为X670750P0.10.9Y640720800P0.10.20.7因为670×0.1+750×0.9<640×0.1+720×0.2+800×0.7,所以该超市还是应购进160千克A水果.4.如图,在平面直角坐标系中,椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A,B两点,过A,B两点作直线l:x=的垂线,垂足分别为A1,B1,试问直线AB1与A1B的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.解 (1)由题意得⇒所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)①当直线AB的斜率不存在时,直线l:x=,AB1与A1B的交点是.②当直线AB的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB为y=k(x-2),由得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=,x1x2=,A1,B1,9\n所以lAB1:y=+y2,lA1B:y=+y1,联立解得x====,代入上式可得y=+y2===0.综上,直线AB1与A1B过定点.5.设函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(3)当θ∈时,试比较ln(tanθ)与tan的大小,并说明理由.解 (1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx-(x-1),f′(x)=lnx+,设g(x)=lnx+(x>0),则g′(x)=,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)min=g(1)=1>0,∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无单调递减区间.(2)f′(x)=lnx++1-a=g(x)+1-a,由(1)可知g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,9\n则g(x)≥g(1)=1,即f′(x)在区间[1,+∞)上单调递增,且f′(1)=2-a,①当a≤2时,f′(x)≥0,f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(1)=0满足条件;②当a>2时,设h(x)=lnx++1-a(x≥1),则h′(x)=-=≥0(x≥1),∴h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,且h(1)=2-a<0,h(ea)=1+e-a>0,∴∃x0∈[1,ea],使得h(x0)=0,∴当x∈[1,x0)时,h(x)<0,f(x)单调递减,即当x∈[1,x0)时,f(x)≤f(1)=0,不满足题意.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].(3)由(2)可知,取a=2,当x>1时,f(x)=(x+1)lnx-2(x-1)>0,即lnx>,当0<x<1时,>1,∴ln>⇔<,又∵tan=,∴当0<θ<时,0<tanθ<1,ln(tanθ)<tan;当θ=时,tanθ=1,ln(tanθ)=tan;当<θ<时,tanθ>1,ln(tanθ)>tan.9\n综上,当θ∈时,ln(tanθ)<tan;当θ=时,ln(tanθ)=tan;当θ∈时,ln(tanθ)>tan.6.已知直线l经过点P(1,2),倾斜角α=,圆C的极坐标方程为ρ=2cos.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点M到点P的距离.解 (1)直线l的参数方程为即(t为参数,t∈R).由ρ=2cos,得ρ=2cosθ+2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,∴x2+y2=2x+2y,∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)把代入(x-1)2+(y-1)2=2得,2+2=2,整理得t2+t-1=0,Δ=5>0,t1+t2=-1,∴|MP|==.7.(2022·宿州模拟)已知函数f(x)=x2-|x|+3.(1)求不等式f(x)≥3x的解集;(2)若关于x的不等式f(x)-x2≤恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)当x≥0时,f(x)=x2-x+3≥3x,即x2-4x+3≥0,解得x≥3或x≤1,所以x≥3或0≤x≤1;当x<0时,f(x)=x2+x+3≥3x,此不等式x2-2x+3≥0恒成立,所以x<0.综上所述,原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}.9\n(2)f(x)-x2≤恒成立,即-|x|+3≤恒成立,即+|x|≥3恒成立,∵+|x|=++≥+=|a|+≥|a|,当且仅当x=0时,等号成立,∴|a|≥3,解得a≥3或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).9
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:49:28
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文章作者:U-336598
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