北京市2022高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 7 立体几何 文

【解析分类汇编系列五：北京2022高三（一模）文数】7：立体几何．（2022届房山区一模文科数学）某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是（　　）A．B．C．D．C由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱垂直底的三棱锥。其中,取的中点，则，所以的面积为，选C.18\n．（2022届北京市延庆县一模数学文）一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是（7题图）（　　）A．B．C．D．D将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为,由直观图可知，最大的面为.在等边三角形中，,所以面积，选D.．（2022届北京市石景山区一模数学文）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（）18\nA．B．C．5D．D由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．所以则最长的一条侧棱PB，其长度是．选D.．（2022届北京东城区一模数学文科）已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),那么这个几何体的侧面积是（　　）A．B．C．D．18\nC由三视图可知，该几何体是一个平放的四棱柱，四棱柱的底面是直角梯形。所以几何体的侧面积为，选C.．（2022届北京市朝阳区一模数学文）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.8D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。．（2022届北京丰台区一模文科）某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是（　　）A．2B．4C．D．18\nC由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．因为PO⊥底面ABC，所以平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC．PC=．．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．选C．（2022届北京门头沟区一模文科数学）如图所示,为一几何体的三视图,则该几何体的体积是（　　）18\nA．B．C．D．主视图左视图俯视图11D由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.．（2022届北京大兴区一模文科）已知平面,直线,下列命题中不正确的是（　　）A．若,,则∥B．若∥,,则C．若∥,,则∥D．若,,则.CC中，当∥时，只和过平面与的交线平行，所以不正确。．（2022届北京西城区一模文科）某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是（　　）A．B．C．D．18\nC由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为，侧面积为，所以正三棱柱的表面积是，选C.．（2022届北京西城区一模文科）如图,正方体中,是棱的中点,动点在底面内,且,则点运动形成的图形是（　　）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分B因为，所以点P的轨迹为为球心，以为半径的球，又在底面内，运动形成的图形是球与底面的交线，所以为圆弧，选B.．（2022届北京海淀一模文）某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______.16由三视图可知该几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：18\n．．（2022届北京市延庆县一模数学文）如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,,为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求三棱锥的体积;(Ⅲ)在侧棱上是否存在一点,满足平面,若存在,求的长;若不存在,说明理由.(Ⅰ)证明:设、相交于点,连结,底面为菱形,为的中点,又为的中点,又平面,平面,平面(Ⅱ)解:因为底面为菱形,,所以是边长为正三角形,又因为底面,所以为三棱锥的高,(Ⅲ)解:因为底面,所以,又底面为菱形,,,平面,平面,平面,18\n在内,易求,,在平面内,作,垂足为,设,则有,解得连结,,,,平面,平面,平面.所以满足条件的点存在,此时的长为．（2022届北京东城区一模数学文科）如图,已知平面,平面,为的中点,若.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面.ABCDEFABCDEFG(共14分)证明:(Ⅰ)取的中点,连结,.因为是的中点,则为△的中位线.所以,.因为平面,平面,所以.又因为,所以.18\n所以四边形为平行四边形.所以.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为,为的中点,所以.因为,平面,所以平面.又平面,所以.因为,所以平面.因为,所以平面.又平面,所以平面平面.．（2022届北京丰台区一模文科）如图,四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AC⊥PD;(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.如图,四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AC⊥PD;(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AC⊥PD(Ⅱ)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD,18\n∵AD=3,∴在△PAD中,存在EF//AD(E,F分别在AP,PD上),且使EF=1,又∵BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF,∴四边形BCFE是平行四边形,∴BE//CF,,∴BE∥平面PCD,∵EF=1,AD=3,∴．（2022届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分14分）O如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设AC与BD相交于点O，在棱上是否存在点，使得∥平面?若存在，确定点位置．证明：（I）在直角梯形ABCD中，所以，所以.…………4分又因为，所以由，所以所以…………7分（II）存在点，使得∥平面，此时…………9分证明：在PC上取点使得，连接OE.由，所以,可得…………13分又因为18\n所以∥平面…………14分．（2022届北京海淀一模文）在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)设平面平面=,试问直线是否与直线平行,请说明理由.解:(I)证明:(I)因为是正三角形,是中点,所以,即又因为,平面,又,所以平面又平面,所以(Ⅱ)在正三角形中,在,因为为中点,,所以,所以,,所以所以,所以又平面,平面,所以平面(Ⅲ)假设直线,因为平面,平面,所以平面18\n又平面,平面平面,所以这与与不平行,矛盾所以直线与直线不平行．（2022届北京门头沟区一模文科数学）如图,已知平面,,且是垂足.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,试判断平面与平面是否垂直,并证明你的结论.APCDB(Ⅰ)证明:因为,所以.同理.又,故平面(Ⅱ)平面与平面垂直证明:设与平面的交点为,连结、.因为,所以,在中,,所以,即在平面四边形中,,所以又,所以,所以平面平面．（2022届北京大兴区一模文科）如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是18\nBC的中点.(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;(Ⅱ)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.解:(Ⅰ)在直三棱柱中,,所以,在等边中,D是BC中点,所以因为在平面中,,所以又因为,所以,在直三棱柱中,四边形是平行四边形,所以所以,(Ⅱ)在直三棱柱中,四边形是平行四边形,在平行四边形中联结,交于点O,联结DO.故O为中点.在三角形中,D为BC中点,O为中点,故.因为,所以,18\n故,平行．（2022届北京西城区一模文科）在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求四面体的体积;(Ⅲ)线段上是否存在点,使//平面?证明你的结论.(Ⅰ)证明:在△中,因为,,,所以又因为,所以平面(Ⅱ)解:因为平面,所以.因为,所以平面在等腰梯形中可得,所以.所以△的面积为所以四面体的体积为:(Ⅲ)解:线段上存在点,且为中点时,有//平面,证明如下:连结,与交于点,连接.因为为正方形,所以为中点所以//因为平面,平面,所以//平面.所以线段上存在点,使得//平面成立．（2022届房山区一模文科数学）在四棱锥中,底面为直角梯形,//,,,,为的中点.18\n(Ⅰ)求证:PA//平面BEF;(Ⅱ)求证:.(Ⅰ)证明:连接AC交BE于O,并连接EC,FO//,,为中点AE//BC,且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点又F为AD中点////(Ⅱ)连接......12分.14分．（2022届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分14分）18\n如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.PDABCFE（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．PDABCFE（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以．又因为，，所以平面，而平面，所以平面平面．……………………………………………………8分（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.在棱上显然存在点,使得.18\n由已知，，，，．由平面几何知识可得．由（Ⅱ）知，平面，所以，因为，所以平面．而平面，所以．又因为,所以平面.在中，，可求得，．可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分18